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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra - Ableitung der Elementaren Funktionen

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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra

Ableitung der Elementaren Funktionen

Wurzelfunktion: 

  • $f(x) = \sqrt{x} \; \rightarrow \; f´(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

Anders:  $f(x) = \sqrt{x}  =  x^{\frac{1}{2}} \; \rightarrow \; f´(x) = \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} = \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

Logarithmus- und Exponentialfunktion:

Die Exponentialfunktion  $e^x$  und der natürliche Logarithmus  $\ln|x|$  sind differenzierbar und es gilt:

  • $f(x) = e^x \; \rightarrow \; f´(x) = e^x$

  • $f(x) = \ln|x| \; \rightarrow \; f´(x) = \frac{1}{x}$

Allgemeine Exponentialfunktion

  • $f(x) = a^x \; \rightarrow \; f´(x) = a^x \cdot \ln(a)$ 


Beweis:
 $f(x) = a^x$  lässt sich schreiben als:  $f(x) = e^{x \cdot \ln(a)}$

Anwendung der Kettenregel: $f´(a) =u´(v(a)) \cdot v´(a)$

$f´(x) = (x \cdot ln(a))´\cdot e^{x \cdot \ln(a)}$                                Äußere Ableitung

        $= 1 \cdot \ln(a) \cdot e^{x \cdot \ln(a)}$                                  Innere Ableitung

$ln(a)$  ist eine konstante Zahl, die Ableitung von  $x$  ist  $1$.

Die Exponentialfunktion kann wieder in ihre ursprüngliche Form gebracht werden:

$f´(x) = \ln(a) \cdot a^x$

Allgemeine Logarithmusfunktion

  • $f(x) = log_a(x) \; \rightarrow \; f´(x) = \frac{1}{x \cdot ln(a)}$


Beweis:
Die allgemeine Logarithmusfunktion  $f(x) = log_a(x)$  lässt sich schreiben:

$f(x) = \frac{ln|x|}{ln(a)}$

$ln(a)$  ist ein konstanter Wert, Ableitung von  $(ln|x|)´ = \frac{1}{x}$

$f´(x) = \frac{1}{x \cdot ln(a)}$

Potenzfunktion:

  • $f(x) = x^a \; \rightarrow \; f´(x) = a\cdot x^{a-1}$


Beweis:
Die allgemeine Potenzfunktion  $f(x) = x^a$  lässt sich auch schreiben:

$f(x) = e^{a \cdot \ln(x)}$

Anwendung der Kettenregel: $f´(a) =u´(v(a)) \cdot v´(a)$

$f´(x) = (a \cdot \ln(x))´ \cdot e^{a \cdot \ln(x)}$

$f´(x) = (a \cdot \frac{1}{x}) \cdot e^{a \cdot \ln(x)}$

$f´(x) = (a \cdot \frac{1}{x}) \cdot  x^a = a \cdot x^{-1} \cdot x^a = a\cdot x^{a-1}$

Trigonometrische Funktionen

  • Sinus:  $f(x) = sin x \; \rightarrow \; f´(x) = cos x$

  • Cosinus:  $f(x) = cos x \; \rightarrow \; f´(x) = -sin x$

  • Tangens:  $f(x) = tan x \; \rightarrow \; f´(x) = \frac{1}{cos^2 x} = 1 + tan^2 x$

  • Cotangens:  $f(x) = cot x \; \rightarrow \; f´(x) = -\frac{1}{sin^2 x} = -(1 + cot^2 x)$