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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra - Monotone Funktionen

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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra

Monotone Funktionen

Monotonie

Monotonie beschreibt das gleichförmige Verhalten einer Funktion oder Folge. Hierbei wird untersucht ob eine Funktion/Folge wächst oder fällt.

Monoton wachsend

In Funktionen spricht man von monoton wachsend wenn gilt:

Für alle  $x_1, x_2 \in D:  x_2 > x_1 \rightarrow f(x_2) \ge f(x_1) $. 

und von streng monoton wachsend, wenn gilt:

Für alle  $x_1, x_2 \in D:  x_2 > x_1 \rightarrow f(x_2) > f(x_1) $. 

streng monoton wachsend
streng monoton wachsend

In der obigen Grafik ist die Funktion streng monoton steigend. Dies ist der Fall, wenn der Funktionsgraph für alle  $x \in I$ eine positive Steigung besitzt:  $f´(x) > 0$

Außerdem gilt: $x_2 > x_1 \ \rightarrow \ f(x_2) > f(x_1)$

monoton fallend

In Funktionen spricht man von monoton fallend wenn gilt:

Für alle  $x_1, x_2 \in D:  x_2 > x_1 \rightarrow f(x_2) \le f(x_1) $. 

und von streng monoton fallend, wenn gilt:

Für alle $x_1, x_2 \in D:  x_2 > x_1 \rightarrow f(x_2) < f(x_1) $.

streng monoton fallend
streng monoton fallend

In der obigen Grafik ist die Funktion streng monoton fallend. Dies ist der Fall, wenn der Funktionsgraph für alle  $x \in I$ eine negative Steigung besitzt:  $f´(x) < 0$

Außerdem gilt: $x_2 > x_1 \ \rightarrow \ f(x_2) < f(x_1)$

Merke

Exponentialfunktionen sind gänzlich streng monoton fallend oder steigend, je nach Vorzeichen des Exponenten.

Kosinusfunktionen hingegen sind in Abschnitten monoton, da sie abwechselnd steigen und fallen.

Bestimmung des Monotonieverhaltens

Besonders in der Differentialrechnung sind Aussagen bezüglich des Monotonieverhaltens wichtig:

Eine auf einem Intervall  $I$  stetig differenzierbare Funktion ist genau dann streng monoton wachsend (bzw. streng monoton fallend), wenn die 1. Ableitung:

- nirgendwo negative Werte (bzw. positive Werte) aufweist

- auf keinem echten Teilintervall gleich Null ist.

Beispiel

Gegeben sei die Funktion: $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 3x$. 

Monotonieverhalten

Aus Funktionsgraphen, wie in der obigen Abbildung lassen sich häufig die Monotoniebereiche direkt ablesen:

So ist 

$\ f(x)$ streng monoton wachsend für $\ I_1 = { -\infty < x < 1}, x \in \mathbb{R}$

$\ f(x)$ streng monoton fallend für $\ I_2 = { 1 < x < 3}, x \in \mathbb{R}$

$\ f(x)$ streng monoton wachsend für $\ I_3 = { 3 < x < \infty}, x \in \mathbb{R}$

Methode

Rechnerisch:

Für $\ f(x) = \frac{1}{3} x^3 - 2x^2 + 3 x \rightarrow f'(x) = x^2 – 4x + 3 $

1. Bestimme die Nullstellen $\ f'(x) = 0 \leftrightarrow x^2-4x+3 = 0 \rightarrow x_1= 1; x_2=3$

2. Die Nullstellen werden nun die 1. Ableitung eingesetzt und geschaut, ob diese >0 oder < 0 wird.

3. Erzeuge eine Vorzeichentabelle

Bereich $x <1$ $1 < x < 3$ $x > 3$
f'(x) + - +
$f(x)$ ist streng monoton wachsend fallend wachsend