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Monotonie
Monotonie beschreibt das gleichförmige Verhalten einer Funktion oder Folge. Hierbei wird untersucht ob eine Funktion/Folge wächst oder fällt.
Monoton wachsend
In Funktionen spricht man von monoton wachsend wenn gilt:
Für alle $x_1, x_2 \in D: x_2 > x_1 \rightarrow f(x_2) \ge f(x_1) $.
und von streng monoton wachsend, wenn gilt:
Für alle $x_1, x_2 \in D: x_2 > x_1 \rightarrow f(x_2) > f(x_1) $.
In der obigen Grafik ist die Funktion streng monoton steigend. Dies ist der Fall, wenn der Funktionsgraph für alle $x \in I$ eine positive Steigung besitzt: $f´(x) > 0$
Außerdem gilt: $x_2 > x_1 \ \rightarrow \ f(x_2) > f(x_1)$
monoton fallend
In Funktionen spricht man von monoton fallend wenn gilt:
Für alle $x_1, x_2 \in D: x_2 > x_1 \rightarrow f(x_2) \le f(x_1) $.
und von streng monoton fallend, wenn gilt:
Für alle $x_1, x_2 \in D: x_2 > x_1 \rightarrow f(x_2) < f(x_1) $.
In der obigen Grafik ist die Funktion streng monoton fallend. Dies ist der Fall, wenn der Funktionsgraph für alle $x \in I$ eine negative Steigung besitzt: $f´(x) < 0$
Außerdem gilt: $x_2 > x_1 \ \rightarrow \ f(x_2) < f(x_1)$
Merke
Exponentialfunktionen sind gänzlich streng monoton fallend oder steigend, je nach Vorzeichen des Exponenten.
Kosinusfunktionen hingegen sind in Abschnitten monoton, da sie abwechselnd steigen und fallen.
Bestimmung des Monotonieverhaltens
Besonders in der Differentialrechnung sind Aussagen bezüglich des Monotonieverhaltens wichtig:
Eine auf einem Intervall $I$ stetig differenzierbare Funktion ist genau dann streng monoton wachsend (bzw. streng monoton fallend), wenn die 1. Ableitung:
- nirgendwo negative Werte (bzw. positive Werte) aufweist
- auf keinem echten Teilintervall gleich Null ist.
Beispiel
Gegeben sei die Funktion: $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 3x$.
Aus Funktionsgraphen, wie in der obigen Abbildung lassen sich häufig die Monotoniebereiche direkt ablesen:
So ist
$\ f(x)$ streng monoton wachsend für $\ I_1 = { -\infty < x < 1}, x \in \mathbb{R}$
$\ f(x)$ streng monoton fallend für $\ I_2 = { 1 < x < 3}, x \in \mathbb{R}$
$\ f(x)$ streng monoton wachsend für $\ I_3 = { 3 < x < \infty}, x \in \mathbb{R}$
Methode
Rechnerisch:
Für $\ f(x) = \frac{1}{3} x^3 - 2x^2 + 3 x \rightarrow f'(x) = x^2 – 4x + 3 $
1. Bestimme die Nullstellen $\ f'(x) = 0 \leftrightarrow x^2-4x+3 = 0 \rightarrow x_1= 1; x_2=3$
2. Die Nullstellen werden nun die 1. Ableitung eingesetzt und geschaut, ob diese >0 oder < 0 wird.
3. Erzeuge eine Vorzeichentabelle
| Bereich | $x <1$ | $1 < x < 3$ | $x > 3$ |
| f'(x) | + | - | + |
| $f(x)$ ist streng monoton | wachsend | fallend | wachsend |
