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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra - Extremwerte

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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra

Extremwerte

Extremwerte
Extremwerte
  • $f(x)$  hat bei (1) ein Maximum.  Es handelt sich hierbei um ein globales (absolutes) Maximum,  denn das Maximum stellt den höchsten Punkt der Funktion dar.
  • $f(x)$  hat bei (2) ein lokales (relatives) Minimum, denn es handelt sich um den tiefsten Punkt in diesem Bereich, allerdings nicht um den tiefsten Punkt der Funktion.

  • $f(x)$  hat bei (3) ein lokales (relatives) Maximum.

  • $f(x)$  hat bei (4) ein Minimum. Das Minimum bei (4) stellt den tiefsten Punkt der kompletten Funktion dar. Damit handelt es sich hier um ein globales (absolutes) Minimum.

  • $f(x)$  hat bei (5) ein lokales (relatives) Maximum.

Merke

Ein Maximum ist immer dann vorhanden, wenn der Graph der Funktion erst steigt (monoton wachsend) und anschließend wieder abfällt (monoton fallend). Ferner entsteht ein Minimum, wenn der Graph der Funktion erst abfällt und dann wieder steigt. Die Steigung an solchen Hoch- und Tiefpunkten ist immer gleich Null: $f´(x) = 0$.

Extremwerte identifizieren

Ist  $f$  eine auf dem offenen Intervall  $I$  differenzierbare Funktion, so gilt:

$x_0 \in I \; \rightarrow \; f´(x_0) = 0$:   Lokale Extremstelle von $f$

Die Betrachtung der 1. Ableitung reicht nicht aus, um zu sagen, ob es sich um Extremwerte handelt. Wechselt die 1. Ableitung ihre Vorzeichen an der Stelle  $x_0$, dann handelt es sich um Extremstellen. Das bedeutet, dass vor einem Minimum der Graph der Funktion monoton fällt (-) und nach dem Minimum monoton wächst (+). Vor einem Maximum hingegen wächst der Graph der Funktion monoton (+) und nach dem Maximum ist dieser monoton fallend (-).

  1. Das einfachste Verfahren um herauszufinden ob es sich um eine Extremstelle an dem Punkt $x_0$ handelt ist es also, einige Funktionswerte vor und nach dem Punkt  $x_0$  auszurechnen und miteinander zu vergleichen.

  2. Eine weitere Möglichkeit ist die Betrachtung der 2. Ableitung. Ist $f´´(x) > 0$ , dann liegt ein Minimum vor (weil die Funktion nach einem Minimum monoton wächst). Ist $f´´(x) < 0$, dann liegt Maximum vor (weil die Funktion nach einem Maximum monoton fällt). Ist f´´(x) = 0, kann es sich um Extremwerte oder Sattelpunkte handeln. Hier muss solange eine Ableitung durchgeführt werden bis  $f´´(x) \neq 0$. Ist bei der $n$-Ableitung $n$ gerade, so liegt ein Extrempunkt vor, ist  $n$  ungerade so liegt ein Horizontalwendepunkt vor.

Methode

Extremstellen berechnen

Extremwerte sind nur vorhanden, wenn

(1)  $f´(x) = 0$  ist  (kritische Punkte) oder

(2)  $f(x)$  nicht differenzierbar ist (z.B. Randpunkte).

Vorgehensweise

(1) kritische Punkte:

(a) Untersuchung der kritischen Punkte ohne höhere Ableitung:

(a1) Nullstellen der 1. Ableitung bestimmen:  $f´(x) = 0$  setzen (kritische Punkte)

(a2) Werte > und <  $x_0$  in  $f´(x)$  einsetzen:

- wechselt  $f´$  in dem kritischen Punkt  $x_0$ das Vorzeichen, so liegt ein Extremum vor:

  • wechselt $f´$  von + nach -, so liegt bei  $x_0$  ein lokales (relatives) Maximum vor
  • wechselt $f´$  von - nach +, so liegt bei $x_0$  ein lokales (relatives) Minimum vor

(b) Untersuchung der kritischen Punkte mit höherer Ableitung

(b1) Nullstellen der 1. Ableitung bestimmen:  $f´(x) = 0$  setzen (kritische Punkte)

(b2) Die gefundenen kritischen Punkte  $x_0$  in die 2. Ableitung einsetzen:

  • $f´´(x_0) > 0$:  es liegt ein lokales (relatives) Minimum vor.
  • $f´´(x_0) < 0$:  es liegt ein lokales (relatives) Maximum vor.
  • $f´´(x_0) = 0$:  Es könnte ein Extrempunkt vorliegen, allerdings ebenfalls ein Sattelpunkt.

Ergibt die 2. Ableitung gleich Null, dann werden solange weitere Ableitungen  $f^n$  gebildet und die kritischen Punkte in diese Ableitungen einsetzen, bis der Funktionswert einer höheren Ableitung ungleich Null wird. Entscheidend ist hierbei, ob es sich dann um eine gerade oder ungerade Ableitung handelt:

  • $n$  gerade: Extremwert bei  $f^n (x_0) > 0$  (Minimum) und  $f^n (x_0) < 0$  (Maximum) 
  • $n$  ungerade: Horizontalwendepunkt bei  $x_0$.


(2)
Nicht differenzierbare Punkte,  z.B. Randpunkte müssen extra betrachtet werden und z.B. der Größe nach verglichen werden.

Beispiel

Gegeben sei die Funktion:   $f(x) = x^3 - 3x -12$.  Untersuche die Funktion im Intervall $[-3, 3]$ auf Extremwerte.

Extremwerte möglich bei:

(1)  $f´(x) = 3x^2 - 3 = 0$

$x_1 = 1, \; x_2 = -1$

(2) Randpunkte:   $x_3 = -3, x_4 = 3 \ \rightarrow \ $ Intervall betrachten

Prüfen:

(a) ohne höhere Ableitung:

$x_1 = 1$:

$f´(0,99) = -0,06, f`(1,01) = 0,06$

$\rightarrow \; $ Vorzeichenwechsel von - nach +: Minimum 

$x_2 = -1$:

$f´(-1,01) = 0,06, f`(-0,99) = -0,06$

$\rightarrow \; $ Vorzeichenwechsel von + nach -: Maximum

(b) mit höherer Ableitung 

$f´´(x) = 6x$

$x_1 = 1$:

$f´´(1) = 6 \; \rightarrow \;$ Minimum

$x_2 = -1$:

$f´´(-1) = -6 \; \rightarrow \;$ Maximum

(2) Globales Maximum und Minimum

Merke

Satz von Weierstraß: Jede auf einem kompakten Intervall $[a, b]$ stetige Funktion hat dort ein globales Maximum und ein globales Minimum.

Da $f(x)$  auf dem kompakten Intervall $[-3, 3]$ stetig ist, wird nach Weierstraß angenommen, dass ein globales (absolutes) Maximum und ein globales (absolutes) Minimum existiert.

Es werden zum einen die bereits ermittelten Extremwerte $x_1$ und $x_2$ herangezogen und zudem noch die möglichen Extremwerte an den Randpunkten $x_3$ und $x_4$. Durch einsetzen dieser in die Funktion und Vergleich der Funktionswerte sieht man dann, ob die Randpunkte globale Maxima und Minima darstellen:

$f(-1) = -10, \; \; f(1) = -14, \; \; f(-3) = -30, \; \; f(3) = 6$

Die Randpunkte stellen globale Extrempunkte dar. Bei $x = -3$  liegt ein globales Minimum vor (kleinster Funktionswert), bei  $x = 3$  liegt ein globales Maximum vor (größter Funktionswert).

Die folgende Grafik zeigt die Funktion  $f(x) = x^3 - 3x -12$  im Intervall  $[-3, 3]$  und ihre Extremstellen:

Extremstellen
Extremstellen