Näherungsverfahren zur Nullstellenberechnung nach Newton

Das Näherungsverfahren zur Nullstellenberechnung von Newton dient dazu, zu einer gegebenen stetig differenzierbaren Funktion  $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ Näherungswerte zur Lösung der Gleichung   $f(x) = 0$  (also Nullstellen der Funktion) zu finden. Das Näherungsverfahren wird angewandt, weil direkte Verfahren zur Bestimmung der Nullstellen nicht oder nur mit sehr großem Aufwand anwendbar sind. 

Die grundlegende Idee des Newtonverfahrens besteht darin, eine Tangente zu bestimmen, welche in der Nähe der Nullstelle liegt. Die Nullstelle der Tangente dient dann als neue Approximation der Nullstelle der Funktion. Die erhaltene Näherung dient als Ausgangspunkt für einen weiteren Verbesserungsschritt.

Allgemein

Sei  $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$  eine stetig differenzierbare Funktion, von der eine Stelle  $x_n \in D$ mit "kleinem" Funktionswert  $f(x_n)$  bekannt ist.  Es soll ein Punkt  $x_{n + 1}$  nahe dem Punkt  $x_n$  gefunden werden, welcher eine verbesserte Näherung der Nullstelle darstellt.  Dies wird erreicht, indem die Funktion $f$ im Punkt  $(x_n, f(x_n))$  durch eine Tangente linearisiert wird. Die Tangente hat die Gleichung:

$g_n(x) = f´(x_n)(x - x_n) + f(x_n)$

Beginnend bei $n = 0$ berechne man folgende Nullstelle der Tangente:

$x_{n + 1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f´(x_n)}$

Unterscheiden sich $x_n$  und  $x_{n + 1}$   hinreichend wenig, so ist  $x_{n + 1}$   eine Näherung der gesuchten Nullstelle, ansonsten wiederhole man die Berechnung der Nullstelle der Tangente für das nächste  $n$.

Anwendung

1. Ein $x_n \in D$ mit $n = 0, 1, ..., N$ mit kleinem Funktionswert suchen: Anbieten würde sich hier der Wert  $x_0 = 0$, denn es resultiert hier der Funktionswert  $f(x_0) = 2$. 

2. Die $\color{red}{Tangente}$, welche durch diesen Punkt $P_1(0, 2)$  geht, ist:  

$g_0(x) = f´(0)(x - 0) + f(0) = -3x + 2$

3. Die Nullstelle der Tangente ist:

$x_1 = 0 - \frac{f(0)}{f´(0)} = 0 - \frac{2}{-3} = \frac{2}{3}$

Näherungsverfahren zur Nullstellenberechnung nach Newton

In der obigen Grafik ist deutlich zu erkennen, wie das Näherungsverfahren funktioniert. Als erstes wird  ein vorher festgelegten Punkt der Funktion mit kleinem Funktionswert bestimmt (hier: $P_1(0,2)$. Dann wird die Tangente gesucht, die durch diesen Punkt geht. Die Tangente ist in rot eingezeichnet. Da die Tangente durch die $x$-Achse geht, wird die Schnittstelle $x_1$ der Tangente mit der $x$-Achse bestimmt ($\rightarrow$ Nullstelle). Man sieht nun deutlich, dass $x_1$ deutlich näher an der Nullstelle der Funktion liegt, als $x_0$. Um nun herauszufinden, ob $x_1$ nun aber die Nullstelle der Funktion ist oder noch zu weit weg liegt, werden $x_0$ und $x_1$ voneinander abgezogen. Ist die Differenz noch zu groß, müssen weitere Schritte durchgeführt werden. Dies geschieht so lange, bis die Differenz hinreichend klein ist. Im nächsten Schritt wird also für $x_1$ der Punkt gesucht, welcher auf der Funktion liegt und die Tangente die durch diesen Punkt geht bestimmt. Danach wird wieder der Schnittpunkt $x_2$ der neuen Tangente mit der $x$-Achse bestimmt und geschaut ob die Differenz zwischen $x_2$ und $x_1$ hinreichend klein ist.

$x_0$  und  $x_1$  unterscheiden sich noch nicht hinreichend wenig, weshalb ein weiterer Schritt durchgeführt wird:

2. Die Funktion $f(x)$  hat an der Stelle $x_1 = \frac{2}{3}$  den Funktionswert $f(\frac{2}{3}) = \frac{8}{27}$. Die Tangente die durch diesen Punkt geht lautet:

$g_1(x) = f´(2/3)(x - 2/3) + f(2/3) = -\frac{5}{3}(x - \frac{2}{3}) + \frac{8}{27} = -\frac{5}{3}x + \frac{38}{27}$

3. Die Nullstelle der $\color{green}{Tangente}$ ist:

$x_2 = \frac{2}{3} - \frac{\frac{8}{27}}{-\frac{5}{3}} = \frac{38}{45} = 0,8\overline{4}$

Näherungsverfahren zur Nullstellenberechnung nach Newton

Es sind weitere Schritte notwendig, da die Differenz zwischen  $x_2$  und  $x_1$  nicht hinreichend klein ist:

2. Die Nullstelle der Tangente, welche durch den Punkt $(x_2, f(x_2))$  geht ist (es wird aus Vereinfachungsgründen weiter gerechnet mit 0,8444):

$x_3 = 0,8444 - \frac{f(0,8444)}{f´(0,8444)} \approx 0,9244$

$x_4 = 0,9244 -  \frac{f(0,9244)}{f´(0,9244)} \approx 0,9627$

$x_5 = 0,9627 - \frac{f(0,9627)}{f´(0,9627)} \approx 0,9814$

$x_5 = 0,9814 -  \frac{f(0,8444)}{f´(0,8444)} \approx 0,9904$

$x_6 \approx 0,9938$

$x_7 \approx 0,9965$

...

Hier stimmen die Zahlen bis auf 2 Nachkommastellen überein. Dies soll an dieser Stelle reichen, um das Verfahren zu verstehen.

Abschließende Erläuterung

In diesem Beispiel wurde immer auf 4 Nachkommastellen gerundet. Wie zu sehen ist, nähert sich $x$ immer weiter an die Nullstelle der Funktion an. Die Nullstelle an die wir uns momentan annähern ist übrigens  $x_{1,2} = 1$ (doppelte Nullstelle). Eine weitere Nullstelle der Funktion ist $x_3 = -2$. Für diese Nullstelle kann man z.B. mit  $x_0 = -1,5$ beginnen. Für das Näherungsverfahren von Newton sollte man die ungefähre Lage einer Nullstelle kennen. Es empfiehlt sich demnach zunächst eine Kurvendiskussion durchzuführen (Extrempunkte, Wendepunkt etc. bestimmen), um die Lage der Nullstellen in etwa abschätzen zu können. 

Beispiel: In diesem Beispiel hat die Funktion bei  $x = -1$  ein Maximum (siehe Kapitel: Extremwerte). In den vorherigen Kapiteln wurde gezeigt, dass vor einem Maximum die Funktion monoton steigt. Da das Maximum einen Funktionswert von $f(-1) = 4$  besitzt und damit oberhalb der $x$-Achse liegt und die Funktion vor diesem Punkt für $(\infty, -1)$ monoton steigt, muss sie durch die $x$-Achse laufen. Das bedeutet also, dass dort in der Nähe eine Nullstelle liegen muss (siehe obige Grafik). Mit diesem Wissen kann nun das Verfahren von Newton angewandt werden um Näherungsweise die erste Nullstelle zu bestimmen. Analog verfährt man um die weiteren Nullstellen zu bestimmen.