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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra - Wendepunkte

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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra

Wendepunkte

Ein Wendepunkt ist der Punkt $(x, y)$ an dem der Funktionsgraph sein Krümmungsverhalten ändert. Der Graph wechselt hier entweder von einer Linkskurve in eine Rechtskurve oder umgekehrt. Dieser Wechsel wird auch Bogenwechsel genannt.

Einen Wendepunkt bestimmt man, indem man die 2. Ableitung $f´´(x)$ gleich Null setzt und nach $x$ auflöst. Den sich ergebenden $x$-Wert setzt man in die 3. Ableitung $f´´´(x)$  ein:

Für einen Wendepunkt an der Stelle $x$ gilt stets:   $f´´´(x) \neq 0$

  • Ist  $f´´´(x) > 0$  dann wechselt der Graph seine Krümmung von rechts nach links
  • Ist  $f´´´(x) < 0$  dann wechselt der Graph seine Krümmung von links nach rechts.

Beispiel

Gegeben sei die Funktion  $f(x) = x^3 - 6x^2 + 2x$.  

  •  $f´(x) = 3x^2 - 12x + 2$

  • $f´´(x) = 6x - 12 = 0$      

    $\rightarrow \ x = 2$

  • $f´´´(2) = 6  \neq  0 \rightarrow$  Wendepunkt

Da $f'''(x) > 0$  wechselt der Graph seine Krümmung von rechts nach links.

Der Wendepunkt ist bei  $f(2) = -12$.

Wendepunkt
Wendepunkt

Wendetangente

Eine Wendetangente ist eine Tangente, welche durch den Wendepunkt geht. Das bedeutet, dass eine Wendetangente die gleiche Steigung aufweist, wie der Funktionsgraph im Wendepunkt. Die Wendetangente $g(x)$ wird folgendermaßen berechnet:

$g(x) = f´(x_0)(x - x_0) + f(x_0)$

mit:

$x_0 = x$-Wert des Wendepunktes

$f´(x_0) =$ erste Ableitung der Funktion $f$ im Punkt $x_0 \ \rightarrow \ $ Steigung

$f(x_0) =$ Funktionswert im Punkt $x_0$

Beispiel

Gegeben sei die oben angebene Funktion  $f(x) = x^3 - 6x^2 + 2x$ mit dem Wendepunkt $x_0 = 2$.

$x_0 = 2$

$f´(x_0) = -10$

$f(x_0) = -12$

Einsetzen in die Tangentenfunktion:

$g(x) = -10(x - 2) -12$

$g(x) = -10x + 8$

Wendepunkt
Wendetangente

In der obigen Grafik ist deutlich zu erkennen, dass die Wendetangente durch den Wendepunkt geht. Diese hat also genau die Steigung wie der Funktionsgraph im Punkt $(2, -12)$.