Kursangebot | Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra | Grenzwerte von Funktionen

Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra

Grenzwerte von Funktionen

Der Grenzwert von Funktionen (auch Limes genannt) bezeichnet in der Mathematik denjenigen Wert, dem sich die Funktion in der Umgebung der betrachteten Stelle annähert. Existiert ein Grenzwert, so konvergiert die Funktion, anderenfalls divergiert sie.

Methode

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Grenzwert einer reellen Funktion $f$ für $x$ gegen $x_0$: $\;\; \lim\limits_{x \to x_0} f(x) = G$


$x_0$ kann dabei sowohl eine reelle Zahl sein, als auch $+\infty$ oder $-\infty$ annehmen:

  • $x_0 \in \mathbb{R}$: $x_0$ muss nicht unbedingt im Definitionsbereich $D_f$ der Funktion liegen. $x_0$ muss aber ein Häufungspunkt von $D_f$ sein. Das bedeutet, dass in jeder (noch so kleinen) Umgebung von $x_0$ unendlich viele Elemente von $D_f$ liegen müssen.
  • $x_0 = + \infty$: Der Defintionsbereich $D_f$ der Funktion muss nach oben unbeschränkt sein.
  • $x_0 = - \infty$: Der Defintionsbereich $D_f$ der Funktion muss nach unten unbeschränkt sein.

 

Methode

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Du kannst Grenz- und Häufungswerte folgendermaßen unterscheiden:

  • Grenzwert: In jeder noch so kleinen Umgebung von $x_0$ müssen fast alle weiteren Werte von $D_f$ liegen.
  • Häufungspunkt/-wert: In jeder noch so kleinen Umgebung von $x_0$ müssen nur unendlich viele weitere Werte von $D_f$ liegen.

 

Grenzwerte für definierte Stellen

Die Funktion $f(x) = \frac{x^2 - 4}{(x - 2)(x + 3)}$ hat für $\lim\limits_{x \to 1} f(x)$  den Grenzwert $0,75$. Das bedeutet, dass wenn $x$ gegen $1$ läuft, die Funktion gegen $y = 0,75$ läuft.

Grenzwert
Grenzwert

Grenzwerte an undefinierten Stellen

Die Funktion $f(x) = \frac{x^2 - 4}{(x - 2)(x + 3)}$ ist an der Stelle $x = 2$ bzw. $x = -3$ nicht definiert. Nicht definiert ist eine gebrochenrationale Funktion, wenn ihr Nenner den Wert $0$ annimmt.

Allerdings soll der Grenzwert $G$ von $f(x)$ für $x \to 2$ ermittelt werden. Dafür muss die Funktion so umgestellt werden, dass $x = 2$ eingesetzt werden kann. Dafür wird der Term $x^2 = 4$ umgeschrieben in:  

$x = \pm\sqrt{4} \; \rightarrow \; x = - 2, x = +2 \; \rightarrow \; (x + 2), (x - 2)$

$\lim\limits_{x \to 2} f(x) = \lim\limits_{x \to 2} \frac{(x - 2)(x + 2)}{(x - 2)(x + 3)}$

Wir sehen nun, dass der Term $(x - 2)$ gekürzt und damit der Grenzwert bestimmt werden kann:

$\lim\limits_{x \to 2} f(x) = \lim\limits_{x \to 2} \frac{x + 2}{x + 3} = \frac{4}{5}$

Da für $x = -3$ die Funktion ebenfalls nicht definiert ist, allerdings keine Umformung möglich ist, um $x = -3$ einzusetzen, also kein Grenzwert $G$ existiert, muss man davon ausgehen, dass die Funktion bei $x = -3$ nicht stetig ist (näheres zu Stetigkeit siehe im nächsten Kapitel).

Weitere Beispiele für Grenzwerte an undefinierten Stellen

(1) $\lim\limits_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} = \lim\limits_{x \to 1} \frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} = \lim\limits_{x \to 1} (x + 1) = 2$

(2) $\lim\limits_{x \to 2} \frac{x^2 + 4x - 12}{x^2 - 5x + 6}$                     Anwendung der p/q-Formel

Zähler: $x_{1,2} = -\frac{4}{2} \pm \sqrt{(\frac{4}{2})^2 + 12}$ 

$x_1 = 2,\  x_2 = -6 \; \rightarrow \; (x - 2), \ (x + 6)$

Nenner: $x_{1,2} = \frac{5}{2} \pm \sqrt{(-\frac{5}{2})^2 - 6}$

$x_1 = 2, \ x_2 = 3 \; \rightarrow \; (x - 2), \ (x - 3)$

$\lim\limits_{x \to 2} \frac{(x - 2)(x + 6)}{(x - 2)(x - 3)} = \lim\limits_{x \to 2} \frac{x + 6}{x - 3} = -8$

Grenzwerte gegen unendlich

Lassen wir $x \to \pm \infty$ laufen, so wird das Verhalten der Funktion im Unendlichen bestimmt. Um den Grenzwert $G$ einer Funktion $f$ für $x \to \pm \infty$ zu bestimmen, reicht es aus, die höchste Potenz der Funktion zu betrachten. Denn keine andere Potenz der Funktion wird jemals so groß, um das Ergebnis zu beeinflussen.

Die Funktion $f(x) = 3x^3 + 4x^2 + 5x$ hat folgende Grenzwerte:

(1) $\lim\limits_{x \to \infty} x^3 ( 3 + \frac{4}{x} + \frac{5}{x^2})$  

$\lim\limits_{x \to \infty} ( 3 + \frac{4}{x} + \frac{5}{x^2}) = 3$

$\lim\limits_{x \to \infty} x^3 = \infty$

$\rightarrow \; \lim\limits_{x \to \infty} f(x) = \infty$


(2) $\lim\limits_{x \to -\infty} x^3 ( 3 + \frac{4}{x} + \frac{5}{x^2})$ 

$\lim\limits_{x \to -\infty} ( 3 + \frac{4}{x} + \frac{5}{x^2}) = 3$

$\lim\limits_{x \to -\infty} x^3 = -\infty$

$\rightarrow \; \lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$

Grenzwertsätze

  1. $\lim\limits_{x \to x_0} (f(x) \pm g(x)) = \lim\limits_{x \to x_0} f(x) \pm \lim\limits_{x \to x_0} g(x)$

  2. $\lim\limits_{x \to x_0} (f(x) \cdot g(x)) = \lim\limits_{x \to x_0} f(x) \cdot \lim\limits_{x \to x_0} g(x)$

  3. $\lim\limits_{x \to x_0} (c \cdot f(x)) = c \cdot \lim\limits_{x \to x_0} f(x)$

  4. $\lim\limits_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim\limits_{x \to x_0} f(x)}{\lim\limits_{x \to x_0} g(x)}$

  5. $\lim\limits_{x \to x_0} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{\lim\limits_{x \to x_0} f(x)}$

  6. $\lim\limits_{x \to x_0} (f(x))^n = (\lim\limits_{x \to x_0} f(x))^n$

  7. $\lim\limits_{x \to x_0} a^{f(x)} = a^{\lim\limits_{x \to x_0} f(x)}$

  8. $\lim\limits_{x \to x_0} \log_a f(x) = \log_a(\lim\limits_{x \to x_0} f(x))$

  9. $\lim\limits_{x \to x_0} |f(x)| = |\lim\limits_{x \to x_0} f(x)|$