Kursangebot | Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra | Grenzwert von Funktionen

Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra

Grenzwert von Funktionen

Der Grenzwert von Funktionen (auch Limes genannt) bezeichnet in der Mathematik denjenigen Wert, dem sich die Funktion in der Umgebung der betrachteten Stelle annähert. Existiert ein Grenzwert, so konvergiert die Funktion, andernfalls divergiert sie.

Methode

Hier klicken zum Ausklappen

Definition

$\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = G$  bezeichnet den Grenzwert  $G$  der reellen Funktion  $f$  für  $x$  gegen  $x_0$.  Dabei kann  $x_0$ sowohl einer reelle Zahl sein als auch  $+\infty$  oder  $-\infty$  annehmen.

Für  $x_0 \in \mathbb{R}$  muss  $x_0$  nicht unbedingt im Definitionsbereich  $D_f$  von  $f$  liegen.  $x_0$   muss aber ein Häufungspunkt von  $D_f$  sein.  Das bedeutet, dass in  jeder Umgebung von  $x_0$  unendlich viele Elemente von $D_f$ liegen. 

Grenzwerte für definierte Stellen

Die Funktion  $f(x) = \frac{x^2 - 4}{(x - 2)(x + 3)}$  hat für  $\lim\limits_{x \to 1} f(x)$  den Grenzwert  $0,75$.  Das bedeutet, dass wenn  $x$  gegen  $1$  läuft, die Funktion gegen  $y = 0,75$  läuft.

Grenzwert
Grenzwert

Grenzwerte an undefinierten Stellen

Die Funktion  $f(x) = \frac{x^2 - 4}{(x - 2)(x + 3)}$  ist an der Stelle  $x = 2$ bzw. $x = -3$ nicht definiert. Nicht definiert ist eine gebrochen rationale Funktion, wenn ihr Nenner den Wert $0$ annimmt.

Allerdings soll der Grenzwert $G$ von $f(x)$  für  $x \to 2$  ermittelt werden. Dafür muss die Funktion so umgestellt werden, dass  $x = 2$  eingesetzt werden kann. Dafür wird der Term  $x^2 = 4$  umgeschrieben in:  

$x = \pm\sqrt{4} \; \rightarrow \; x = - 2, x = +2 \; \rightarrow \; (x + 2), (x - 2)$.

$\lim\limits_{x \to 2} f(x) = \lim\limits_{x \to 2} \frac{(x - 2)(x + 2)}{(x - 2)(x + 3)}$

Man sieht nun also, dass der Term  $(x - 2)$  gekürzt werden kann und damit der Grenzwert bestimmt werden kann:

$\lim\limits_{x \to 2} f(x) = \lim\limits_{x \to 2} \frac{x + 2}{x + 3} = \frac{4}{5}$

Da für $x = -3$ die Funktion ebenfalls nicht definiert ist, allerdings keine Umformung möglich ist, um $x = -3$ einzusetzen, also kein Grenzwert $G$ existiert muss man davon ausgehen, dass die Funktion bei $x = -3$ nicht stetig ist (näheres zu Stetigkeit siehe im nächsten Kapitel).

Weitere Beispiele für Grenzwerte an undefinierten Stellen

(1)  $\lim\limits_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} = \lim\limits_{x \to 1} \frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} = \lim\limits_{x \to 1} (x + 1) = 2$

(2)  $\lim\limits_{x \to 2} \frac{x^2 + 4x - 12}{x^2 - 5x + 6}$                     Anwendung der p/q-Formel

Zähler:      $x_{1,2} = -\frac{4}{2} \pm \sqrt{(\frac{4}{2})^2 + 12}$ 

       $x_1 = 2,\  x_2 = -6 \; \rightarrow \; (x - 2), \ (x + 6)$

Nenner:   $x_{1,2} = \frac{5}{2} \pm \sqrt{(-\frac{5}{2})^2 - 6}$

$x_1 = 2, \ x_2 = 3 \; \rightarrow \; (x - 2), \ (x - 3)$

$\lim\limits_{x \to 2} \frac{(x - 2)(x + 6)}{(x - 2)(x - 3)} = \lim\limits_{x \to 2} \frac{x + 6}{x - 3} = -8$

Grenzwerte gegen unendlich

Lassen wir  $x \to \pm \infty$ laufen, so wird das Verhalten der Funktion im Unendlichen bestimmt.  Um den Grenzwert  $G$  einer Funktion  $f$  für  $x \to \pm \infty$  zu bestimmen, reicht es aus, die höchste Potenz der Funktion zu betrachten. Denn keine andere Potenz der Funktion wird jemals so groß um das Ergebnis zu beeinflussen.

Die Funktion  $f(x) = 3x^3 + 4x^2 + 5x$  hat folgende Grenzwerte:

(1)  $\lim\limits_{x \to \infty} x^3 ( 3 + \frac{4}{x} + \frac{5}{x^2})$  

$\lim\limits_{x \to \infty} ( 3 + \frac{4}{x} + \frac{5}{x^2}) = 3$

$\lim\limits_{x \to \infty} x^3 = \infty$

$\rightarrow \; \lim\limits_{x \to \infty} f(x) = \infty$


(2) $\lim\limits_{x \to -\infty} x^3 ( 3 + \frac{4}{x} + \frac{5}{x^2})$ 

$\lim\limits_{x \to -\infty} ( 3 + \frac{4}{x} + \frac{5}{x^2}) = 3$

$\lim\limits_{x \to -\infty} x^3 = -\infty$

$\rightarrow \; \lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$

Grenzwertsätze

  1. $\lim\limits_{x \to x_0} (f(x) \pm g(x)) = \lim\limits_{x \to x_0} f(x) \pm \lim\limits_{x \to x_0} g(x)$

  2. $\lim\limits_{x \to x_0} (f(x) \cdot g(x)) = \lim\limits_{x \to x_0} f(x) \cdot \lim\limits_{x \to x_0} g(x)$

  3. $\lim\limits_{x \to x_0} (c \cdot f(x)) = c \cdot \lim\limits_{x \to x_0} f(x)$

  4. $\lim\limits_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim\limits_{x \to x_0} f(x)}{\lim\limits_{x \to x_0} g(x)}$

  5. $\lim\limits_{x \to x_0} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{\lim\limits_{x \to x_0} f(x)}$

  6. $\lim\limits_{x \to x_0} (f(x))^n = (\lim\limits_{x \to x_0} f(x))^n$

  7. $\lim\limits_{x \to x_0} a^{f(x)} = a^{\lim\limits_{x \to x_0} f(x)}$

  8. $\lim\limits_{x \to x_0} \log_a f(x) = \log_a(\lim\limits_{x \to x_0} f(x))$

  9. $\lim\limits_{x \to x_0} |f(x)| = |\lim\limits_{x \to x_0} f(x)|$