Grenzwerte von Funktionen

Der Grenzwert von Funktionen (auch Limes genannt) bezeichnet in der Mathematik denjenigen Wert, dem sich die Funktion in der Umgebung der betrachteten Stelle annähert. Existiert ein Grenzwert, so konvergiert die Funktion, anderenfalls divergiert sie.

$x_0$ kann dabei sowohl eine reelle Zahl sein, als auch $+\infty$ oder $-\infty$ annehmen:

• $x_0 \in \mathbb{R}$: $x_0$ muss nicht unbedingt im Definitionsbereich $D_f$ der Funktion liegen. $x_0$ muss aber ein Häufungspunkt von $D_f$ sein. Das bedeutet, dass in jeder (noch so kleinen) Umgebung von $x_0$ unendlich viele Elemente von $D_f$ liegen müssen.
• $x_0 = + \infty$: Der Defintionsbereich $D_f$ der Funktion muss nach oben unbeschränkt sein.
• $x_0 = - \infty$: Der Defintionsbereich $D_f$ der Funktion muss nach unten unbeschränkt sein.

Beispiel für die Berechnung von Grenzwerten an definierten und undefinierten Stellen

Grenzwerte an definierten Stellen

Lassen wir den Nenner der Funktion außer Acht und betrachten diese Funktion zunächst als einfaches Beispiel an der Stelle $x = 1$.

Die Funktion $f(x) = \frac{x^2 - 4}{(x - 2)(x + 3)}$ hat für $\lim\limits_{x \to 1} f(x)$  den Grenzwert $0,75$. Wenn $x$ gegen $1$ läuft, strebt die Funktion gegen $y = 0,75$.

Grenzwerte der Beispielfunktion

Betrachten wir nun den Term im Nenner der Funktion:

Die Funktion $f(x) = \frac{x^2 - 4}{(x - 2)(x + 3)}$ ist an den Stellen $x = 2$ bzw. $x = -3$ möglicherweise nicht definiert.

Wir wollen zunächst den Grenzwert $G$ von $f(x)$ für $x \to 2$ ermitteln. Dafür muss die Funktion so umgestellt werden, dass $x = 2$ eingesetzt werden kann. Vorher formen wir deshalb mit Hilfe der binomischen Formeln den Term $x^2 - 4$ um:

$a^2 + b^2 = (a + b)(a - b)$

$\Longrightarrow x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2)$

$\lim\limits_{x \to 2} f(x) = \lim\limits_{x \to 2} \frac{(x - 2)(x + 2)}{(x - 2)(x + 3)}$

Wir sehen nun, dass der Term $(x - 2)$ gekürzt und damit der Grenzwert bestimmt werden kann:

$\lim\limits_{x \to 2} f(x) = \lim\limits_{x \to 2} \frac{x + 2}{x + 3} = \frac{4}{5}$

Grenzwerte an undefinierten Stellen

Für $x = -3$ ist die Funktion nicht definiert, da wir die Funktion nicht so umformen können, dass eine Lösung für $x = -3$ gefunden werden kann. Wir können jedoch an dieser Stelle den Grenzwert jeweils von rechts und links bestimmen.

Rechtsseitige Annäherung

Wir addieren $h$ zu $x_0 = -3$ und lassen es gegen null laufen:

$\lim\limits_{h \to 0} f(x_0 + h) = \lim\limits_{h \to 0} f(-3 + h) = \frac{(-3 + h)^2 - 4)}{(-3 + h - 2)(-3 + h + 3)}$

Konvergiert das $h$ im Zähler und der linken Seite des Nenners gegen null, so erhalten wir konstante Werte. Somit bleibt unter dem Bruchstrich das kleiner werdende $h$. Für unendlich kleine Werte für $h$ wird der Wert des Bruches unendlich groß:

$\lim\limits_{h \to 0} f(-3 + h) = \frac{5}{(-5) \, (+h)} = - \frac{1}{h} = - \infty$

Linksseitige Annäherung

Wir subtrahieren $h$ von $x_0 = -3$ und lassen es gegen null laufen. Die weiteren Rechenschritte erfolgen analog der rechtsseitigen Annäherung an den Grenzwert.

$\lim\limits_{h \to 0} f(-3 - h) = \frac{(-3 - h)^2 - 4)}{(- 3 - h - 2)(3 - h + 3)}$

$\longrightarrow \lim\limits_{h \to 0} f(-3 - h) = \frac{(-3)^2 - 4}{(-3 - 2)(-3 + 3 + h)} = \frac{5}{(5) \, (h)} =  \frac{1}{h} = + \infty$

An der Stelle $x = -3$ besitzt die Funktion zwei Grenzwerte:

• rechtsseitig: $- \infty$
• linksseitig: $+ \infty$

Beispiel Grenzwerte mit x = -3 und x = 2

Grenzwertsätze

Zur Berechnung von Grenzwerten gelten folgende Rechenregeln:

1. $\lim\limits_{x \to x_0} (f(x) \pm g(x)) = \lim\limits_{x \to x_0} f(x) \pm \lim\limits_{x \to x_0} g(x)$
   
   
2. $\lim\limits_{x \to x_0} (f(x) \cdot g(x)) = \lim\limits_{x \to x_0} f(x) \cdot \lim\limits_{x \to x_0} g(x)$
   
   
3. $\lim\limits_{x \to x_0} [c \cdot f(x)] = c \cdot \lim\limits_{x \to x_0} f(x)$
   
   
4. $\lim\limits_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim\limits_{x \to x_0} f(x)}{\lim\limits_{x \to x_0} g(x)}$
   
   
5. $\lim\limits_{x \to x_0} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{\lim\limits_{x \to x_0} f(x)}$
   
   
6. $\lim\limits_{x \to x_0} (f(x))^n = (\lim\limits_{x \to x_0} f(x))^n$
   
   
7. $\lim\limits_{x \to x_0} a^{f(x)} = a^{\lim\limits_{x \to x_0} f(x)}$
   
   
8. $\lim\limits_{x \to x_0} \log_a f(x) = \log_a(\lim\limits_{x \to x_0} f(x))$
   
   
9. $\lim\limits_{x \to x_0} |f(x)| = |\lim\limits_{x \to x_0} f(x)|$