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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra - Gebrochenrationale Funktionen

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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra

Gebrochenrationale Funktionen

Eine Funktion wird als gebrochenrationale Funktion bezeichnet, wenn sich sowohl im Zähler als auch im Nenner eine ganzrationale Funktion befindet:

Merke

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gebrochenrationale Funktion: $f(x) = \frac{a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+ ... + a_1x + a_0}{b_mx^m + b_{m-1}x^{m-1} + ... + b_1x + b_0}$

 

Beispiel

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gebrochenrationale Funktion: $y = \frac { x^4 + x^3 + x - 1}{x^3 - x^2 - 2}$

Asymptoten

Eine Asymptote (altgr. asymptotos = nicht übereinstimmend) ist eine "einfache" Funktion, zumeist eine Gerade, an die sich der Graph einer Funktion mit zunehmendem Abstand vom Koordinatenursprung annähert, ohne dass sich beide in ihrem Verlauf irgendwo berühren.

  • Nähert sich der Graph einer Funktion einer Gerade parallel zur $y$-Achse an, so spricht man von einer senkrechten Asymptote.
  • Die waagerechte Asymptote ist eine der $x$-Achse parallelen Gerade für $x \to \pm \infty$.
  • Nähert sich der Graph einer Funktion einer Gerade an, die zu keiner der Achsen des Koordinatensystems parallel verläuft, so liegt eine schiefe Asymptote vor.

Nullstellen und Definitionslücken

Nullstellen: Eine Nullstelle liegt vor, wenn der Zähler den Wert null annimmt, der Nenner aber einen Wert ungleich null besitzt. 

Definitionslücken: Eine Definitionslücke liegt vor, wenn der Nenner für $x_0$ den Wert null animmt, er also eine Nullstelle hat. Man unterscheidet hier zwischen Pol und hebbarer Definitionslücke: 

  • Pol: Eine Polstelle liegt vor, wenn der Nenner für $x_0$ den Wert null annimmt, der Zähler hingegen einen Wert ungleich null.
    Außerdem kann ein Pol vorliegen, wenn Zähler und Nenner für $x_0$ eine Nullstelle besitzen. Wir zerlegen Zähler und Nenner in Linearfaktoren und kürzen. Besitzt der erhaltene gekürzte Funktionsterm bei $x_0$ ebenfalls eine Nullstelle, dann hat die gebrochenrationale Funktion eine Polstelle.
    Der Graph einer gebrochenrationalen Funktion nähert sich an der Polstelle einer senkrechten Asymptoten an.

  • hebbare Definitionslücke: Diese ist gegeben, wenn sowohl Nenner als auch Zähler für $x_0$ den Wert null annehmen. Hierbei können wir den Nenner und Zähler als Linearfaktoren darstellen und kürzen. Ist der erhaltene gekürzte Funktionsterm bei $x_0$ ebenfalls ungleich null, dann ist somit der Definitionsbereich der Funktion erweitert. Die (hebbare) Definitionslücke kann  aufgehoben werden.

 

Hinweis

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Keine Panik, wenn du noch nicht viel verstehst. In den folgenden Abschnitten führen wir dich in die tiefen Abgründe der Bestimmung der Nullstellen, Definitionslücken sowie Polstellen gebrochenrationaler Funktionen und der senkrechten sowie waagerechten Asymptoten ein.