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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra - Gebrochen rationale Funktionen

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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra

Gebrochen rationale Funktionen

Eine Funktion wird als gebrochen rationale Funktion bezeichnet, wenn sich sowohl im Zähler als auch im Nenner eine ganzrationale Funktion befindet:

Methode

$ f(x) = \frac{a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+ ... + a_1x + a_0}{b_mx^m + b_{m-1}x^{m-1} + ... + b_1x + b_0} $

oder in Zahlen

$ y = \frac { x^4 + x^3 + x - 1}{x^3 - x^2 - 2}$  (unecht gebrochen)

Nullstellen, Pole, Definitionslücken

Nullstellen: Eine Nullstelle ist gegeben, wenn der Zähler den Wert null annimmt, der Nenner aber einen Wert ungleich Null. 

Definitionslücke: Es liegt allgemein eine Definitionslücke vor, wenn der Nenner den Wert Null animmt. Man unterscheidet hier zwischen Pol und hebbarer Definitionslücke: 

  • Pole: Es liegt eine Polstelle vor, wenn der Nenner den Wert Null annimmt, der Zähler hingegen einen Wert ungleich Null. 

  • Hebbare Definitionslücke: Diese ist gegeben, wenn sowohl Nenner als auch Zähler den Wert Null annehmen. Man kann nun den Nenner und Zähler als Linearfaktoren darstellen, kürzen und damit den Definitionsbereich erweitern und die hebbare Definitionslücke aufheben. 

Asymptote

Nähert sich der Graph der Funktion einer Gerade parallel zur $y$-Achse an, so spricht man von einer senkrechten Asymptote. Die waagerechte Asymptote ist die Annäherung an die $x$-Achse für $x \to \infty$. 

In den folgenden Abschnitten soll gezeigt werden, wie man die Nullstellen, Definitionslücken und Polstellen gebrochen rationaler Funktionen bestimmen kann sowie die senkrechte und waagerechte Asymptote bestimmt.