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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra - Die allgemeine Exponentialfunktion

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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra

Die allgemeine Exponentialfunktion

Die allgemeine Exponentialfunktion ist definiert durch:

$ y = f(x) = a^x$  mit  $a \in \mathbb{R}_{>0}, a \neq 1$

Eigenschaften der allgemeinen Exponentialfunktion

$a > 1$: 

  • Funktion ist streng monton wachsend

  • $\lim\limits_{x \to \infty} a^x = \infty, \lim\limits_{x \to -\infty} a^x = 0$

$ 0 < a < 1$:

  • Funktion ist streng monton fallend

  • $\lim\limits_{x \to \infty} a^x = 0, \lim\limits_{x \to -\infty} a^x = \infty$

Jede Exponentialfunktion kann mit  $a = e^{ln \; a}$  durch eine e-Funktion abgebildet werden:

$y = a^x = e^{x\; ln\; a}$

Beispiel

Gegeben sei die Funktion  $f(x) = 5^x$. 

Für z.B.  $x = 2$  ergibt sich:  $f(2) = 5^2 = 25$  oder  $e^{2\; ln\; 5} = 25$

Rechenregeln

$a$: Basis  mit  $ 0 < a \neq 1$

(1)  $a^{x + y} = a^x \cdot a^y$

(2)  $a^{-x} = \frac{1}{a^x}$

(3)  $a^0 = 1$

(4)  $(a^x)^r = a^{xr}$