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Die allgemeine Exponentialfunktion ist definiert durch:
$y = f(x) = a^x \;\;$ mit $\; \forall \, a \in \mathbb{R}^+ \; \vert a \neq 1 \;$ und $\; \forall \,x \in \mathbb{R} \lor \mathbb{C}$
Eine besondere Exponentialfunktion ist die natürliche Exponentialfunktion $\, f(x) = e^x$, die wir als e-Funktion bezeichnen, also die Exponentialfunktion mit der eulerschen Zahl $\, e = 2,718282... \,$ als Basis. Diese hat gegenüber anderen Exponentialfunktionen besondere Eigenschaften. Ihr widmen wir uns im nächsten Kurstext. Wichtig für dich zu wissen ist, dass mit ihrer Hilfe unter Verwendung des natürlichen Logarithmus' sich jede Exponentialfunktion zur Basis $e$ umwandeln lässt. Aus $a = e^{ln \, a}$ folgt:
Merke
$f(x) = a^x := e^{x \, \cdot \, ln \, a}$
Kleine Erinnerung: Das Zeichen $:=$ heißt "wird per Definition gleichgesetzt."
Beispiel
Gegeben sei die Funktion $f(x) = 5^x$.
Für bspw. $x = 2$ ergibt sich: $f(2) = 5^2 = 25$
Mit o. g. Formel ergibt sich mit $x = 2$: $ f(2) = e^{2 \, \cdot \, ln 5} = 25$
Eigenschaften und Grenzwerte der allgemeinen Exponentialfunktion
Für alle $a > 1$ gilt:
- Die Funktion ist streng monton wachsend.
- $\lim\limits_{x \to + \infty} a^x = + \infty \;\;$ und $\;\; \lim\limits_{x \to -\infty} a^x = 0$
Für alle $ 0 < a < 1$ gilt:
- Die Funktion ist streng monton fallend.
- $\lim\limits_{x \to + \infty} a^x = 0 \;\;\;\;\;\;\,$ und $\;\; \lim\limits_{x \to -\infty} a^x = + \infty$
Rechenregeln
Die oben erwähnte Umwandlung jeder beliebigen Exponentialfunktion in die e-Funktion funktioniert natürlich auch mit beliebigen anderen Werten $b$ als neue Basis:
$a^x = b^{x \, \cdot \, log_b(a)}$
Die folgenden Rechenvorschriften gelten für alle $\; a > 1 \;$ und alle $\; x \in \mathbb{C} \lor \mathbb{R}$:
(1) $a^{x + y} = a^x \cdot a^y$
(2) $a^{-x} = \frac{1}{a^x}$
(3) $a^0 = 1$
(4) $(a^x)^r = a^{x \, r}$
