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Die natürliche Exponentialfunktion oder e-Funktion lautet:
$f(x) = e^x$
Die Zahl $e = 2,718281828459...$ wird Eulersche Zahl genannt. Sie ist durch folgende Grenzwertberechnung definiert:
Methode
$\lim\limits_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^n = 2,718281828459...$
Die Exponentialfunktion können wir auf verschiedene Weise darstellen. Wir können sie als Potenzreihe definieren, die sogenannte Exponentialreihe:
Merke
e-Funktion als Exponentialreihe: $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + ... = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$
Wir können sie jedoch auch als Grenzwert einer Folge mit $n \in \mathbb{N}$ definieren:
Merke
e-Funktion als Grenzwertbetrachtung: $e^x = \lim\limits_{n \to \infty} (1 + \frac{x}{n})^n$
Eigenschaften und Grenzwerte der e-Funktion
- Die e-Funktion ist streng monoton steigend und besitzt für $x \in \mathbb{R}$ keine Nullstellen.
- Grenzwerte: $\lim\limits_{x \to \infty} e^x \widehat{=} \lim\limits_{x \to - \infty} e^{-x} = \infty$
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\, \lim\limits_{x \to -\infty} e^{x} \widehat{=} \lim\limits_{x \to \infty} e^{-x} = 0$ - Die Ableitung von $f(x) = e^x$ ergibt wieder $e^x$.
Methode
Ableitung der e-Funktion: $(e^x)' = e^x$
Weitere Grenzwerte
Die e-Funktion steigt im Unendlichen stärker als jede noch so große Potenzfunktion. Der Quotient aus beiden Funktionen geht je nachdem ob die E-Funktion im Zähler oder Nenner steht, geht entweder gegen null oder gegen Unendlich.
Methode
$\lim\limits_{x \to \infty} \frac{x^n}{e^x} = 0 \;\;$ mit $\;\; n \in \mathbb{N}$
$\lim\limits_{x \to \infty} \frac{e^x}{x^n} = \infty \;\;$ mit $\;\; n \in \mathbb{N}$
Rechenregeln
Die Rechenregeln für die allgemeinen Exponentialfunktionen gelten auch für die e-Funktion:
(1) $e^{x + y} = e^x \cdot e^y$
(2) $e^{-x} = \frac{1}{e^x}$
(3) $e^0 = 1$
(4) $(e^x)^r = e^{x \, r}$
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