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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra - Die e-Funktion

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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra

Die e-Funktion

Die natürliche Exponentialfunktion oder e-Funktion lautet:

$f(x) = e^x$

Die Zahl $e = 2,718281828459...$ wird Eulersche Zahl genannt. Sie ist durch folgende Grenzwertberechnung definiert:

Methode

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$\lim\limits_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^n = 2,718281828459...$


Die Exponentialfunktion können wir auf verschiedene Weise darstellen. Wir können sie als Potenzreihe definieren, die sogenannte Exponentialreihe:

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e-Funktion als Exponentialreihe: $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + ... = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$


Wir können sie jedoch auch als Grenzwert einer Folge mit $n \in \mathbb{N}$ definieren:

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e-Funktion als Grenzwertbetrachtung: $e^x = \lim\limits_{n \to \infty} (1 + \frac{x}{n})^n$

 

Eigenschaften und Grenzwerte der e-Funktion

 

  • Die e-Funktion ist streng monoton steigend und besitzt für $x \in \mathbb{R}$ keine Nullstellen.
  • Grenzwerte: $\lim\limits_{x \to \infty} e^x \widehat{=} \lim\limits_{x \to - \infty} e^{-x} = \infty$
    $\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\, \lim\limits_{x \to -\infty} e^{x} \widehat{=} \lim\limits_{x \to \infty} e^{-x} = 0$
  • Die Ableitung von $f(x) = e^x$ ergibt wieder $e^x$.

Methode

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Ableitung der e-Funktion: $(e^x)' = e^x$

e-Funktion
e-Funktionen

Weitere Grenzwerte

Die e-Funktion steigt im Unendlichen stärker als jede noch so große Potenzfunktion. Der Quotient aus beiden Funktionen geht je nachdem ob die E-Funktion im Zähler oder Nenner steht, geht entweder gegen null oder gegen Unendlich.

Methode

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$\lim\limits_{x \to \infty} \frac{x^n}{e^x} = 0 \;\;$ mit $\;\; n \in \mathbb{N}$

$\lim\limits_{x \to \infty} \frac{e^x}{x^n} = \infty \;\;$ mit $\;\; n \in \mathbb{N}$

 

Rechenregeln

Die Rechenregeln für die allgemeinen Exponentialfunktionen gelten auch für die e-Funktion:

(1) $e^{x + y} = e^x \cdot e^y$

(2) $e^{-x} = \frac{1}{e^x}$

(3) $e^0 = 1$

(4) $(e^x)^r = e^{x \, r}$