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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra - Die e-Funktion

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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra

Die e-Funktion

Die e-Funktion ist definiert als

$y = f(x) = e^x$  mit  $e = 2,718281828...$, (Eulersche Zahl)

Die Exponentialfunktion wird durch folgende konvergente Reihe definiert:

$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + {x^4}{4!} + ... = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$

Merke

Die Eulersche Zahl wird durch folgenden Grenzwert definiert:

 $\lim\limits_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^n = 2,71828...$.

Eigenschaften der e-Funktion

  • Die Zahl  $e$  ist durch folgenden Grenzwert definiert:

    $\lim\limits_{x \to \infty} \frac{e^x}{x^n} = \infty$  für alle  $n \in \mathbb{N}$.

  • $e^0 = 1$
  • $e^x > 0$  für  $x \in \mathbb{R}$  hat keine Nullstellen.

  • Die Ableitung von $e^x$  ergibt wieder  $e^x$:  $(e^x)' = e^x$
e-Funktion
e-Funktion

Weitere Grenzwerte der e-Funktion:

$\lim\limits_{x \to \infty} e^x = \infty$

$\lim\limits_{x \to \infty} e^{-x} = \lim\limits_{x \to \infty} \frac{1}{e^x} = 0$

$\lim\limits_{x \to -\infty} e^{x} = \lim\limits_{x\to\infty} e^{-x} = 0$

$\lim\limits_{x \to \infty} \frac{x^n}{e^x} = 0, n \in \mathbb{N}$

$\lim\limits_{x \to \infty} \frac{e^x}{x^n} = \infty, n \in \mathbb{N}$ 

Merke

Der Ausdruck  

  • $\lim\limits_{x \to \infty} \frac{x^n}{e^x}, n \in \mathbb{N}$  wird  $0$,    bzw.  

  • $\lim\limits_{x \to \infty} \frac{e^x}{x^n},  n \in \mathbb{N}$,   strebt gegen   $\infty$, 

da die e-Funktion schneller wächst als jede (noch so große) Potenz von  $x$.