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Verhalten im Unendlichen
Die Grenzwerte ganzrationaler Funktionen für $x \to \pm \infty$ sind $+ \infty$ sowie $- \infty$ und werden im Allgemeinen durch den Summanden mit dem höchsten Exponenten bestimmt. Das genaue Verhalten hängt davon ab, ob der Grad $n$ einer Funktion gerade oder ungerade ist und welches Vorzeichen der Leitkoeffizient $a_n$ besitzt.
Überblick zu den Grenzwerten ganzrationaler Funktionen
Für $f(x) = a_nx^n + a_{n−1} x^{n−1} + . . . + a_0$ kann man den Summanden mit dem höchsten Exponenten ausklammern. In diesem Fall klammern wir $a_n x^n$ aus:
$f(x) = a_nx^n (1 + \frac{a_{n−1}x^{n-1}}{a_n x^n} + \frac{a_{n−2}x^{n-2}}{a_n x^n} + . . . + \frac{a_{1}x^{1}}{a_n x^n} + \frac{a_0}{a_nx^n})$
bzw. gekürzt:
$f(x) = a_nx^n (1 + \frac{a_{n−1}}{a_nx^1} + \frac{a_{n−2}}{a_n x^2} + . . . + \frac{a_1}{a_nx^{n-1}} + \frac{a_0}{a_nx^n})$
In der Klammer werden die Glieder mit den Brüchen für $x \to \pm \infty$ unendlich klein. Der Grenzwert $1$ resultiert:
$\lim\limits_{x \rightarrow \pm \infty} (1 + \frac{a_{n−1}}{a_nx} + . . . + \frac{a_0}{a_nx^n}) = 1$
Da nun der Ausdruck in der Klammer gegen $1$ strebt, können wir auch sagen:
Merke
Die Funktion $f(x) = a_nx^n + a_{n−1} x^{n−1} + . . . + a_0$ verhält sich im Unendlichen wie ihr Summand mit dem höchsten Exponenten $a_n x^n$ vorgibt.
Beispiel: Grenzwerte
Beispiel
Zeige, dass der Graph der Funktion $f(x) = 3x^4 + 2x^2 - 4x + 8$ für $x \to \pm \infty$ verläuft wie der Graph der Funktion $g(x) = 3x^4$!
Für $x \rightarrow \infty$:
(1) $f(x) = 3x^4 (1 + \frac{2}{3x^2} - \frac{4}{3x^3} + \frac{8}{3x^4})$:
$\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{2}{3x^2} - \frac{4}{3x^3} + \frac{8}{3x^4}) = 1$
$\lim_{x \to \infty} 3x^4 \rightarrow \infty$
Daraus folgt für $x \to \infty$: $f(x) \to \infty$
(2) $g(x) = 3x^4$:
$\lim_{x \to \infty} 3x^4 \rightarrow \infty$
Daraus folgt für $x \to \infty$: $g(x) \to \infty$
Für $x \rightarrow -\infty$:
(1) $f(x) = 3x^4 (1 + \frac{2}{3x^2} - \frac{4}{3x^3} + \frac{8}{3x^4})$:
$\lim_{x \to -\infty} (1 + \frac{2}{3x^2} - \frac{4}{3x^3} + \frac{8}{3x^4}) = 1$
$\lim_{x \to -\infty} 3x^4 \rightarrow \infty$
Daraus folgt für $x \to -\infty$: $f(x) \to \infty$
(2) $g(x) = 3x^4$:
$\lim_{x \to -\infty} 3x^4 \rightarrow \infty$
Daraus folgt für $x \to -\infty$: $g(x) \to \infty$
Verhalten für x gegen null
Allgemein wird das Verhalten für $x \to 0$ durch den Koeffizienten mit dem niedrigsten Exponenten bestimmt. Der Graph schneidet die y-Achse bei $a_0$. Die Steigung an dieser Stelle ist durch $a_1$ gegeben. Die Tangente im Schnittpunkt mit der y-Achse hat also stets die Gleichung $f(x) = a_1x + a_0$.
Beispiel
Zeige, dass der Graph der Funktion $f(x) = 3x^4 + 2x^2 - 4x + 8$ für $x \to 0$ den gleichen Verlauf wie der Graph der Funktion $g(x) = -4x + 8$ besitzt!
$x \to 0$:
$\lim\limits_{x \to 0} f(x) = 3x^4 + 2x^2 - 4x + 8 = 0 + 0 -0 + 8 = 8$
$\lim\limits_{x \to 0} g(x) = -4x + 8 = 0 + 8 = 8$
Die Graphen beider Funktionen schneiden die y-Achse bei $x = 8$. Die Steigung hat dort den Wert $-4$.
Merke
- Bei ganzrationalen Funktionen entscheidet der Koeffizient mit dem höchsten Exponent über das Verhalten der Funktion im Unendlichen.
- Der Koeffizient mit dem niedrigsten Exponenten entscheidet über das Verhalten der Funktion gegen null.