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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra - Grenzwerte ganzrationaler Funktionen

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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra

Grenzwerte ganzrationaler Funktionen

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Verhalten im Unendlichen

Die Grenzwerte ganzrationaler Funktionen für $x \to \pm \infty$ sind $+ \infty$ sowie $- \infty$ und werden im Allgemeinen durch den Summanden mit dem höchsten Exponenten bestimmt. Das genaue Verhalten hängt davon ab, ob der Grad $n$ einer Funktion gerade oder ungerade ist und welches Vorzeichen der Leitkoeffizient $a_n$ besitzt. 

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Verhalten im Unendlichen

Überblick zu den Grenzwerten ganzrationaler Funktionen

Für $f(x) = a_nx^n + a_{n−1} x^{n−1} + . . . + a_0$ kann man den Summanden mit dem höchsten Exponenten ausklammern. In diesem Fall klammern wir $a_n x^n$ aus:

$f(x) = a_nx^n (1 + \frac{a_{n−1}x^{n-1}}{a_n x^n} + \frac{a_{n−2}x^{n-2}}{a_n x^n} + . . . + \frac{a_{1}x^{1}}{a_n x^n} + \frac{a_0}{a_nx^n})$  

bzw. gekürzt:

$f(x) = a_nx^n (1 + \frac{a_{n−1}}{a_nx^1} + \frac{a_{n−2}}{a_n x^2} + . . . + \frac{a_1}{a_nx^{n-1}} + \frac{a_0}{a_nx^n})$  

In der Klammer werden die Glieder mit den Brüchen für $x \to \pm \infty$ unendlich klein. Der Grenzwert $1$ resultiert:

$\lim\limits_{x \rightarrow \pm \infty} (1 + \frac{a_{n−1}}{a_nx} + . . . + \frac{a_0}{a_nx^n}) = 1$

Da nun der Ausdruck in der Klammer gegen $1$ strebt, können wir auch sagen:

Merke

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Die Funktion $f(x) = a_nx^n + a_{n−1} x^{n−1} + . . . + a_0$ verhält sich im Unendlichen wie ihr Summand mit dem höchsten Exponenten $a_n x^n$ vorgibt.

 

Beispiel: Grenzwerte

Beispiel

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Zeige, dass der Graph der Funktion $f(x) = 3x^4 + 2x^2 - 4x + 8$ für $x \to \pm \infty$ verläuft wie der Graph der Funktion $g(x) = 3x^4$!

Für $x \rightarrow \infty$:

(1) $f(x) = 3x^4 (1 + \frac{2}{3x^2} - \frac{4}{3x^3} + \frac{8}{3x^4})$:

$\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{2}{3x^2} - \frac{4}{3x^3} + \frac{8}{3x^4}) = 1$

$\lim_{x \to \infty} 3x^4 \rightarrow \infty$

Daraus folgt für $x \to \infty$: $f(x) \to \infty$

(2) $g(x) = 3x^4$:

$\lim_{x \to \infty} 3x^4 \rightarrow \infty$

Daraus folgt für $x \to \infty$: $g(x) \to \infty$

Für $x \rightarrow -\infty$:

(1) $f(x) = 3x^4 (1 + \frac{2}{3x^2} - \frac{4}{3x^3} + \frac{8}{3x^4})$:

$\lim_{x \to -\infty} (1 + \frac{2}{3x^2} - \frac{4}{3x^3} + \frac{8}{3x^4}) = 1$

$\lim_{x \to -\infty} 3x^4 \rightarrow \infty$

Daraus folgt für $x \to -\infty$: $f(x) \to \infty$

(2) $g(x) = 3x^4$:

$\lim_{x \to -\infty} 3x^4 \rightarrow \infty$

Daraus folgt für $x \to -\infty$: $g(x) \to \infty$

Verhalten für x gegen null

Allgemein wird das Verhalten für $x \to 0$ durch den Koeffizienten mit dem niedrigsten Exponenten bestimmt. Der Graph schneidet die y-Achse bei $a_0$. Die Steigung an dieser Stelle ist durch $a_1$ gegeben. Die Tangente im Schnittpunkt mit der y-Achse hat also stets die Gleichung $f(x) = a_1x + a_0$.

Beispiel

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Zeige, dass der Graph der Funktion $f(x) = 3x^4 + 2x^2 - 4x + 8$  für  $x \to 0$ den gleichen Verlauf wie der Graph der Funktion $g(x) = -4x + 8$ besitzt!

$x \to 0$:

$\lim\limits_{x \to 0} f(x) = 3x^4 + 2x^2 - 4x + 8 = 0 + 0 -0 + 8 = 8$

$\lim\limits_{x \to 0} g(x) = -4x + 8 = 0 + 8 = 8$

Die Graphen beider Funktionen schneiden die y-Achse bei $x = 8$. Die Steigung hat dort den Wert $-4$.

Merke

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  • Bei ganzrationalen Funktionen entscheidet der Koeffizient mit dem höchsten Exponent über das Verhalten der Funktion im Unendlichen.
  • Der Koeffizient mit dem niedrigsten Exponenten entscheidet über das Verhalten der Funktion gegen null.

Video: Grenzwerte ganzrationaler Funktionen