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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra - Grenzwerte ganzrationaler Funktionen

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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra

Grenzwerte ganzrationaler Funktionen

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Verhalten im Unendlichen

Allgemein wird das Verhalten für  $x \to \pm \infty$  durch den Koeffizienten mit dem höchsten Exponenten bestimmt. Das genaue Verhalten hängt davon ab, ob der Grad  $n$  einer Funktion gerade oder ungerade ist und welches Vorzeichen der Leitkoeffizient  $a_n$ besitzt. 

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Verhalten im Unendlichen

Überblick zu den Grenzwerten ganzrationaler Funktionen

Für  $f(x) = a_nx^n + a_{n−1} x^{n−1} + . . . + a_0$  kann man den Koeffizienten mit dem höchsten Exponenten ausklammern. In diesem Fall $a_nx^n$ ausklammern:

$f(x) = a_nx^n (1 + \frac{a_{n−1}x^{n-1}}{a_n x^n} + . . . + \frac{a_0}{a_nx^n})$  

bzw. gekürzt:

$f(x) = a_nx^n (1 + \frac{a_{n−1}}{a_nx} + . . . + \frac{a_0}{a_nx^n})$  

mit   $\lim_{x \rightarrow \pm \infty} (1 + \frac{a_{n−1}}{a_nx} + . . . + \frac{a_0}{a_nx^n}) = 1$. 

Da nun die Klammer gegen $1$ strebt, kann man auch sagen, dass die Funktion $f(x) = a_nx^n + a_{n−1} x^{n−1} + . . . + a_0$ sich im Unendlichen verhält, wie ihr Koeffizient mit dem höchsten Exponenten $a_nx^n$.

Anwendung

Beispiel

Zeige, dass der Graph der Funktion  $f(x) = 3x^4 + 2x^2 - 4x + 8$  für  $x \to \pm \infty$  verläuft wie der Graph der Funktion  $g(x) = 3x^4$.

Für  $x \rightarrow \infty$:

(1)  $3x^4 (1 + \frac{2}{3x^2} - \frac{4}{3x^3} + \frac{8}{3x^4})$:

$\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{2}{3x^2} - \frac{4}{3x^3} + \frac{8}{3x^4}) = 1$

$\lim_{x \to \infty} 3x^4 \rightarrow \infty$

Daraus folgt: Für  $ x \to \infty: f(x) \to \infty$

(2)  $3x^4$:

$\lim_{x \to \infty} 3x^4 \rightarrow \infty$

Daraus folgt: Für  $ x \to \infty: f(x) \to \infty$

Für  $x \rightarrow -\infty$:

(1)  $3x^4 (1 + \frac{2}{3x^2} - \frac{4}{3x^3} + \frac{8}{3x^4})$:

$\lim_{x \to -\infty} (1 + \frac{2}{3x^2} - \frac{4}{3x^3} + \frac{8}{3x^4}) = 1$

$\lim_{x \to -\infty} 3x^4 \rightarrow \infty$

Daraus folgt: Für  $ x \to -\infty: f(x) \to \infty$

(2)  $3x^4$:

$\lim_{x \to -\infty} 3x^4 \rightarrow \infty$

Daraus folgt: Für  $ x \to -\infty: f(x) \to \infty$

Verhalten für  x gegen Null

Allgemein wird das Verhalten für  $x \to 0$  durch den Koeffizienten mit dem niedrigsten Exponenten bestimmt.  Der Graph schneidet die y-Achse bei  $a_0$. Die Steigung an dieser Stelle ist durch  $a_1$ gegeben. Die Tangente im Schnittpunkt mit der y-Achse hat also immer die Gleichung  $f(x) = a_1x + a_0$.

Beispiel

Zeige, dass der Graph der Funktion  $f(x) = 3x^4 + 2x^2 - 4x + 8$  für  $x \to 0$  verläuft wie der Graph der Funktion  $f(x) = -4x + 8$.

$ x \to 0$:

$\lim\limits_{x \to 0} f(x) = 3x^4 + 2x^2 - 4x + 8 = 0 + 0 -0 + 8 = 8$

$\lim\limits_{x \to 0} f(x) = 0 + 8 = -4x + 8 = 8$

Der Graph beider Funktionen schneidet die y-Achse bei 8 und hat dort die Steigung -4.

Merke

Bei ganz rationalen Funktionen entscheidet der Koeffizient mit dem höchsten Exponent über das Verhalten der Funktion im Unendlichen. Hingegen entscheidet der Koeffizient mit dem niedrigsten Exponenten und der Schnittpunkt mit der y-Achse über das Verhalten der Funktion gegen Null.

Video: Grenzwerte ganzrationaler Funktionen