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Kursangebot | Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra | Grenzwerte gebrochenrationaler Funktionen

Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra

Grenzwerte gebrochenrationaler Funktionen

In diesem Abschnitt zeigen wir dir die Berechnung von Grenzwerten bei gebrochenrationalen Funktionen. Möchten wir das Verhalten von Funktionen im Unendlichen herausfinden, müssen wir die beiden Fälle $x \to + \infty$ und $x \to - \infty$ betrachten:

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  • $lim_{x \to + \infty} \frac{a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+ ... + a_1x + a_0}{b_mx^m + b_{m-1}x^{m-1} + ... + b_1x + b_0}$

  • $lim_{x \to - \infty} \frac{a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+ ... + a_1x + a_0}{b_mx^m + b_{m-1}x^{m-1} + ... + b_1x + b_0}$

Für die Berechnung der Grenzwerte vergleichen wir den Grad von Zähler $n$ und Nenner $m$ und unterscheiden dann für unsere Betrachtung von $lim_{x \to + \infty} \,$ und $\, lim_{x \to - \infty}$ die drei Fälle:

  • $n < m$
  • $n = m$
  • $n > m$

Grenzwert gegen plus unendlich

Die Funktion $f(x)$ nimmt für $lim_{x \to + \infty}$ die folgenden Grenzwerte an:

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$\lim_{x \to + \infty}  \frac{a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+ ... + a_1x + a_0}{b_mx^m + b_{m-1}x^{m-1} + ... + b_1x + b_0} = \begin{cases} 0 & \text{für} \; n <  m \\ \frac{a_n}{b_m} & \text{für} \; n = m \\ \pm \infty & \text{für} \; n > m \end{cases}$


Liegt der Fall $n > m$ vor, so müssen wir klären, ob der Quotient aus den Leitkoeffizienten von Zähler- und Nennerpolynom $\, \frac{a_n}{b_m} \,$ größer oder kleiner als null ist:

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$\lim_{x \to + \infty} f(x) = \begin{cases} +\infty & \text{für} \; n >  m & \text{und} \; \frac{a_n}{b_m} > 0 \\ -\infty & \text{für} \; n > m & \text{und} \; \frac{a_n}{b_m} < 0 \end{cases}$

Grenzwert gegen minus unendlich

Die Funktion $f(x)$ nimmt für $lim_{x \to - \infty}$ die folgenden Grenzwerte an:

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$\lim_{x \to - \infty}  \frac{a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+ ... + a_1x + a_0}{b_mx^m + b_{m-1}x^{m-1} + ... + b_1x + b_0} = \begin{cases} 0 & \text{für } n <  m \\ \frac{a_n}{b_m} & \text{für } n = m \\ \pm \infty & \text{für } n > m \end{cases}$


Liegt der Fall $n > m$ vor, so müssen wir neben zusätzlich zu unserer Betrachtung, ob $\frac{a_n}{b_m}$ größer oder kleiner ist als null, ebenso darauf achten, ob die Zahlenwerte von $n$ und $m$ gerade oder ungerade sind. Dazu können wir zwei Fälle unterscheiden:

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Fall 1: $\; n$ und $m$ sind beide gerade oder beide ungerade:

$\lim_{x \to - \infty} f(x) = \begin{cases} +\infty & \text{für } n >  m & \text{und } \frac{a_n}{b_m} > 0 \\ -\infty & \text{für } n > m & \text{und } \frac{a_n}{b_m} < 0 \end{cases}$

Wer das liest, ist doof! Oder kopiert für nen Komilitonen... :D

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Fall 2: $\; n$ und $m$ sind verschieden (also einmal gerade und einmal ungerade):

$\lim_{x \to - \infty} f(x) = \begin{cases} -\infty & \text{für } n >  m & \text{und } \frac{a_n}{b_m} > 0 \\ +\infty & \text{für } n > m & \text{und } \frac{a_n}{b_m} < 0 \end{cases}$

.

Beispiel 1: Grenzwert einer gebrochenrationalen Funktion

 

Beispiel

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Gegeben sei die Funktion $f(x) = \frac{2x^2 - 2x - 12}{6x^2-12x}$. Gegen welchen Wert konvergiert die Funktion für $x \to \pm \infty$?

Für die obige Funktion gilt, dass der Zählergrad und der Nenngrad gleich sind:

$n = m$


Sowohl für minus als auch für plus unendlich strebt die Funktion gegen:

$\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = \frac{a_n}{b_m} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

Dies können wir einfach überprüfen, indem wir für $x$ immer größere Werte einsetzen:

x1101001000
f(x)2,00,3500,33650,33367

.

Beispiel 2: Grenzwert einer gebrochenrationalen Funktion

 

Beispiel

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Gegeben sei die Funktion $f(x) = \frac{2x^2 - 12}{6x^3 - 8x}$. Gegen welchen Wert konvergiert die Funktion für $x \to \pm \infty$?

Für die obige Funktion gilt, dass der Zählegrad kleiner ist als der Nennergrad:

$n < m$

Sowohl für minus als auch für plus unendlich strebt die Funktion gegen:

$\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = 0 $

Dies können wir einfach überprüfen, indem wir für $x$ immer größere Werte einsetzen:

x1101001000
f(x)5,00,0320,00330,00033

.

Beispiel 3: Grenzwert einer gebrochenrationalen Funktion

 

Beispiel

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Gegeben sei die Funktion $f(x) = \frac{2x^3 - 12}{6x^2 - 8x}$. Gegen welchen Wert konvergiert die Funktion für $x \to \pm \infty$?

Für die obige Funktion gilt, dass der Zählergrad größer ist als der Nennergrad:

$n > m$


Fall 1: $x \to + \infty$

Hier gilt: $\lim_{x \to + \infty} f(x) = \infty$

Die Funktion strebt gegen unendlich. Wir müssen noch unterscheiden, ob die Funktion gegen plus oder minus unendlich strebt:

$\frac{a_n}{b_m} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} > 0$

Der Quotient der Leitkoeffizienten von Zähler und Nenner ist positiv. Die Funktion strebt somit gegen:

$\lim_{x \to + \infty} f(x) = +\infty$

Fall 2: $x \to - \infty$

Wir stellen fest, ob Zähler- und Nennergrad gerade oder ungerade sind:

$n = 3$ ungerade

$m = 2$ gerade

Zählergrad und Nennergrad sind verschieden. Wir wissen, dass der Quotient der Leitkoeffizienten positiv ist:

$\frac{a_n}{b_m} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} > 0$

Daraus folgt:

$\lim_{x \to -\infty} f(x) = - \infty$


Die Funktion $f(x)$ strebt für:

  • $x \to +\infty$ gegen plus unendlich
  • $x \to -\infty$ gegen minus unendlich