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In diesem Abschnitt zeigen wir dir die Berechnung von Grenzwerten bei gebrochenrationalen Funktionen. Möchten wir das Verhalten von Funktionen im Unendlichen herausfinden, müssen wir die beiden Fälle $x \to + \infty$ und $x \to - \infty$ betrachten:
Merke
- $lim_{x \to + \infty} \frac{a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+ ... + a_1x + a_0}{b_mx^m + b_{m-1}x^{m-1} + ... + b_1x + b_0}$
- $lim_{x \to - \infty} \frac{a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+ ... + a_1x + a_0}{b_mx^m + b_{m-1}x^{m-1} + ... + b_1x + b_0}$
Für die Berechnung der Grenzwerte vergleichen wir den Grad von Zähler $n$ und Nenner $m$ und unterscheiden dann für unsere Betrachtung von $lim_{x \to + \infty} \,$ und $\, lim_{x \to - \infty}$ die drei Fälle:
- $n < m$
- $n = m$
- $n > m$
Grenzwert gegen plus unendlich
Die Funktion $f(x)$ nimmt für $lim_{x \to + \infty}$ die folgenden Grenzwerte an:
Merke
$\lim_{x \to + \infty} \frac{a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+ ... + a_1x + a_0}{b_mx^m + b_{m-1}x^{m-1} + ... + b_1x + b_0} = \begin{cases} 0 & \text{für} \; n < m \\ \frac{a_n}{b_m} & \text{für} \; n = m \\ \pm \infty & \text{für} \; n > m \end{cases}$
Liegt der Fall $n > m$ vor, so müssen wir klären, ob der Quotient aus den Leitkoeffizienten von Zähler- und Nennerpolynom $\, \frac{a_n}{b_m} \,$ größer oder kleiner als null ist:
Merke
$\lim_{x \to + \infty} f(x) = \begin{cases} +\infty & \text{für} \; n > m & \text{und} \; \frac{a_n}{b_m} > 0 \\ -\infty & \text{für} \; n > m & \text{und} \; \frac{a_n}{b_m} < 0 \end{cases}$
Grenzwert gegen minus unendlich
Die Funktion $f(x)$ nimmt für $lim_{x \to - \infty}$ die folgenden Grenzwerte an:
Merke
$\lim_{x \to - \infty} \frac{a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+ ... + a_1x + a_0}{b_mx^m + b_{m-1}x^{m-1} + ... + b_1x + b_0} = \begin{cases} 0 & \text{für } n < m \\ \frac{a_n}{b_m} & \text{für } n = m \\ \pm \infty & \text{für } n > m \end{cases}$
Liegt der Fall $n > m$ vor, so müssen wir neben zusätzlich zu unserer Betrachtung, ob $\frac{a_n}{b_m}$ größer oder kleiner ist als null, ebenso darauf achten, ob die Zahlenwerte von $n$ und $m$ gerade oder ungerade sind. Dazu können wir zwei Fälle unterscheiden:
Merke
Fall 1: $\; n$ und $m$ sind beide gerade oder beide ungerade:
$\lim_{x \to - \infty} f(x) = \begin{cases} +\infty & \text{für } n > m & \text{und } \frac{a_n}{b_m} > 0 \\ -\infty & \text{für } n > m & \text{und } \frac{a_n}{b_m} < 0 \end{cases}$
Wer das liest, ist doof! Oder kopiert für nen Komilitonen... :D
Merke
Fall 2: $\; n$ und $m$ sind verschieden (also einmal gerade und einmal ungerade):
$\lim_{x \to - \infty} f(x) = \begin{cases} -\infty & \text{für } n > m & \text{und } \frac{a_n}{b_m} > 0 \\ +\infty & \text{für } n > m & \text{und } \frac{a_n}{b_m} < 0 \end{cases}$
.
Beispiel 1: Grenzwert einer gebrochenrationalen Funktion
Beispiel
Gegeben sei die Funktion $f(x) = \frac{2x^2 - 2x - 12}{6x^2-12x}$. Gegen welchen Wert konvergiert die Funktion für $x \to \pm \infty$?
Für die obige Funktion gilt, dass der Zählergrad und der Nenngrad gleich sind:
$n = m$
Sowohl für minus als auch für plus unendlich strebt die Funktion gegen:
$\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = \frac{a_n}{b_m} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
Dies können wir einfach überprüfen, indem wir für $x$ immer größere Werte einsetzen:
| x | 1 | 10 | 100 | 1000 |
| f(x) | 2,0 | 0,350 | 0,3365 | 0,33367 |
.
Beispiel 2: Grenzwert einer gebrochenrationalen Funktion
Beispiel
Gegeben sei die Funktion $f(x) = \frac{2x^2 - 12}{6x^3 - 8x}$. Gegen welchen Wert konvergiert die Funktion für $x \to \pm \infty$?
Für die obige Funktion gilt, dass der Zählegrad kleiner ist als der Nennergrad:
$n < m$
Sowohl für minus als auch für plus unendlich strebt die Funktion gegen:
$\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = 0 $
Dies können wir einfach überprüfen, indem wir für $x$ immer größere Werte einsetzen:
| x | 1 | 10 | 100 | 1000 |
| f(x) | 5,0 | 0,032 | 0,0033 | 0,00033 |
.
Beispiel 3: Grenzwert einer gebrochenrationalen Funktion
Beispiel
Gegeben sei die Funktion $f(x) = \frac{2x^3 - 12}{6x^2 - 8x}$. Gegen welchen Wert konvergiert die Funktion für $x \to \pm \infty$?
Für die obige Funktion gilt, dass der Zählergrad größer ist als der Nennergrad:
$n > m$
Fall 1: $x \to + \infty$
Hier gilt: $\lim_{x \to + \infty} f(x) = \infty$
Die Funktion strebt gegen unendlich. Wir müssen noch unterscheiden, ob die Funktion gegen plus oder minus unendlich strebt:
$\frac{a_n}{b_m} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} > 0$
Der Quotient der Leitkoeffizienten von Zähler und Nenner ist positiv. Die Funktion strebt somit gegen:
$\lim_{x \to + \infty} f(x) = +\infty$
Fall 2: $x \to - \infty$
Wir stellen fest, ob Zähler- und Nennergrad gerade oder ungerade sind:
$n = 3$ ungerade
$m = 2$ gerade
Zählergrad und Nennergrad sind verschieden. Wir wissen, dass der Quotient der Leitkoeffizienten positiv ist:
$\frac{a_n}{b_m} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} > 0$
Daraus folgt:
$\lim_{x \to -\infty} f(x) = - \infty$
Die Funktion $f(x)$ strebt für:
- $x \to +\infty$ gegen plus unendlich
- $x \to -\infty$ gegen minus unendlich
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