Kursangebot | Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra | Grenzwerte gebrochenrationaler Funktionen

Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra

Grenzwerte gebrochenrationaler Funktionen

In diesem Abschnitt wird die Berechnung von Grenzwerte bei gebrochen rationalen Funktionen aufgezeigt. Um das Verhalten von Funktionen im Unendlichen zu erklären müssen die beiden Grenzwerte betrachtet werden:

Methode

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$lim_{x \to \pm \infty} [ \frac{a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+ ... + a_1x + a_0}{b_mx^m + b_{m-1}x^{m-1} + ... + b_1x + b_0}] $

Einfach ausgedrückt: Wenn $x$ gegen plus oder minus uendlich läuft, gegen welchen Wert läuft dann die gesamte Funktion $f(x)$?

Grenzwert gegen plus unendlich

Es wird zunächst der Grenzwert der gebrochen rationalen Funktion für $x \to + \infty$ betrachtet:

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Für die Berechnung des Grenzwertes für $x \to +\infty$ müssen Zählergrad und Nennergrad miteinander verglichen werden.

Die Funktion $f(x)$ nimmt für die jeweilige Fallunterscheide die folgenden Werte an:

$\lim_{x \to + \infty}  \frac{a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+ ... + a_1x + a_0}{b_mx^m + b_{m-1}x^{m-1} + ... + b_1x + b_0} = \begin{cases} 0 & \text{für } n <  m \\ \frac{a_n}{b_m} & \text{für } n = m \\ \infty & \text{für } n > m \end{cases}$

Ist die letzte Fallunterscheidung gegeben, also $n > m$ so muss eine zusätzliche Fallunterscheidung erfolgen:

$\lim_{x \to + \infty} f(x) = \begin{cases} +\infty & \text{für } n >  m & \text{und } \frac{a_n}{b_m} > 0 \\ -\infty & \text{für } n > m & \text{und } \frac{a_n}{b_m} < 0 \end{cases}$

Grenzwert gegen minus unendlich

 Als nächstes wird der Grenzwert der gebrochen rationalen Funktion für $x \to -\infty$ betrachtet: 

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Für die Berechnung des Grenzwertes der Funktion für $x \to -\infty$ müssen Zählergrad und Nennergrad miteinander verglichen werden.

Die Funktion $f(x)$ nimmt für die jeweilige Fallunterscheide die folgenden Werte an:

$\lim_{x \to - \infty}  \frac{a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+ ... + a_1x + a_0}{b_mx^m + b_{m-1}x^{m-1} + ... + b_1x + b_0} = \begin{cases} 0 & \text{für } n <  m \\ \frac{a_n}{b_m} & \text{für } n = m \\ \pm \infty & \text{für } n > m \end{cases}$

Ist die letzte Fallunterscheidung gegeben, also $n > m$ so sind mehrere Faktoren entscheidend, ob die Funktion gegen +$\infty$ oder gegen -$\infty$ strebt:

  • Fall 1: $n$ und $m$ sind beide gerade oder beide ungerade:

    $\lim_{x \to - \infty} f(x) = \begin{cases} +\infty & \text{für } n >  m & \text{und } \frac{a_n}{b_m} > 0 \\ -\infty & \text{für } n > m & \text{und } \frac{a_n}{b_m} < 0 \end{cases}$

  • Fall 2: $n$ und $m$ sind verschieden (also einmal gerade und einmal ungerade):

    $\lim_{x \to - \infty} f(x) = \begin{cases} -\infty & \text{für } n >  m & \text{und } \frac{a_n}{b_m} > 0 \\ +\infty & \text{für } n > m & \text{und } \frac{a_n}{b_m} < 0 \end{cases}$

Anwendungsbeispiel 1: Grenzwert einer gebrochen rationalen Funktion

Gegeben sei die folgende Funktion:

Beispiel

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$f(x) = \frac{2x^2 - 2x - 12}{6x^2-12x}$

Gegen welchen Wert konvergiert die Funktion für $x \to \pm \infty$?

Für die obige Funktion gilt, dass der Zählergrad und der Nenngrad gleich sind, also:

$n = m$.


Sowohl für minus als auch für plus unendlich strebt die Funktion gegen:

$\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = \frac{a_n}{b_m} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

Anwendungsbeispiel 2: Grenzwert einer gebrochen rationalen Funktion

Gegeben sei die folgende Funktion:

Beispiel

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$f(x) = \frac{2x^2 - 12}{6x^3 - 8x}$

Gegen welchen Wert konvergiert die Funktion für $x \to \pm \infty$?

Für die obige Funktion gilt, dass der Zählegrad kleiner ist als der Nennergrad:

$n < m$.

Sowohl für minus als auch für plus unendlich strebt die Funktion gegen:

$\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = 0 $

Dies kann ganz einfach überprüft werden, indem für $x$ immer größere Werte eingesetzt werden:

x101001.000
f(x)0,0320,00330,00033

Anwendungsbeispiel 2: Grenzwert einer gebrochen rationalen Funktion

Gegeben sei die folgende Funktion:

Beispiel

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$f(x) = \frac{2x^3 - 12}{6x^2 - 8x}$

Gegen welchen Wert konvergiert die Funktion für $x \to \pm \infty$?

Für die obige Funktion gilt, dass der Zählegrad größer ist als der Nennergrad:

$n > m$.


Wir betrachten zunächst den Fall für +$\infty$. Hier gilt:

$\lim_{x \to + \infty} f(x) = \infty$

Die Funktion strebt gegen unendlich. Wir müssen aber noch unterscheiden, ob die Funktion gegen plus oder minus unendlich strebt:

$\frac{a_n}{b_m} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} > 0$

Die Division beider Koeffizienten des Zähler- und Nennergrads ist positiv. Deswegen strebt die Funktion gegen:

$\lim_{x \to + \infty} f(x) = +\infty$

Als nächstes betrachten wir den Fall für $x \to -\infty$:

Wir benötigen den Zähler- und Nennergrad und müssen zunächst herausfinden, ob diese gerade oder ungerade sind:

$n = 3$ ungerade

$m = 2$ gerade

Zählergrad und Nennergrad sind also verschieden. Wir wissen, dass die Division positiv ist 

$\frac{a_n}{b_m} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} > 0$

und das Zähler- und Nennergrad verschieden sind, also ergibt sich der Fall:

$\lim_{x \to -\infty} f(x) = - \infty$

Die Funktion $f(x)$ strebt für $x \to +\infty$ gegen plus unendlich und für $x \to -\infty$ gegen minus unendlich.