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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra - Übungsbeispiele zur Mengenlehre

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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra

Übungsbeispiele zur Mengenlehre

In diesem Abschnitt werden einige Übungsbeispiele zur Mengenlehre aufgeführt.

1. Beispiel zur Mengenlehre

Beispiel

Gegeben sei die Grundmenge $\omega = \{-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 \}$, sowie die Mengen $A = \{0,1,2 \}$ und $B = \{1,2,3 \}$.

Führen Sie die folgenden Mengenoperationen durch:

$A \cup B$ (Vereinigung)

$A \cap B$ (Durchschnitt)

$A \backslash B$ und $B \backslash A$ (Differenz)

$\overline{B}$

Es wird zunächst die Vereinigung gebildet. Hierbei gilt: Alle Elemente, die entweder in $A$ oder in $B$ oder in beiden enthalten sind, wobei doppelte Elemente einfach gezählt werden:

$A \cup B = \{0, 1, 2, 3 \}$

Als nächstes wird der Durchschnitt der Mengen festgelegt. Hierbei gilt es alle Elemente zu berücksichtigen, die sowohl in $A$ als auch in $B$ vorkommen:

$A \cap B = \{1,2 \}$

Die Differenzmenge $A \backslash B$ besagt, dass alle Elemente aus $A$ berücksichtigt werden müssen, die nicht auch in $B$ enthalten sind:

 $A \backslash B = \{0 \}$

Die Differenzmenge $B \backslash A$ besagt, dass alle Elemente aus $B$ berücksichtigt werden müssen, die nicht auch in $A$ enthalten sind:

 $B \backslash A = \{3 \}$

Die Menge $\overline{B}$ (gelesen: $B$ quer) ist die Menge aller Elemente aus $\omega$, welche nicht zu $B$ gehört. $\overline{B}$ ist die Komplementärmenge von $B$ bezüglich der Grundmenge $\omega$.

Das bedeutet also:

$\overline{B} = \{-2, -1, 0, 4, 5, 6, 7 \}$

2. Beispiel zur Mengenlehre

Beispiel

Gegeben sei die Grundmenge $M = \{x \in \mathbb{Z} | -5 \le x \le 6 \}$ sowie die Mengen $A = \{-1, 0, 1, 2 \}$, $B = \{2, 3, 4, 5 \}$ und $C = \{0, 2, 6 \}$.

Führen Sie die folgenden Mengenoperationen durch:

a) $A \cap B$ 

b) $A \cap \overline{C}$ 

c) $(A \cap \overline{B}) \cup B$ 

d) $\overline{A} \cup B$

e) $A \cup C$

f) $B \cup C$

g) $(A \cup B) \cup C$

h) $(A \cap B) \cap C$

i) $\overline{A} \cap B$

j) $(\overline{A} \cap \overline{B}) \cup \overline{C}$

k) $\overline{(A \cap B) \cup C}$

a) Es wird zunächst der Durchschnitt der Mengen festgelegt. Hierbei gilt es alle Elemente zu berücksichtigen, die sowohl in $A$ als auch in $B$ vorkommen:

$A \cap B = \{2 \}$

b) Es wird zuerst die Komplementärmenge $\overline{C}$ gebildet. $\overline{C}$ ist die Komplementärmenge von $C$ bezüglich der Grundmenge $M$. Die Komplementärmenge $\overline{C}$ der Menge $C$ umfasst alle Elemente aus der Grundmenge $M$, die nicht zur Menge $C$ gehören.

$\overline{C} = \{-5, -4, -3, -2, -1, 1, 3, 4, 5 \}$.

Es kann nun der Durchschnitt gebildet werden. Hierbei gilt es alle Elemente zu berücksichtigen, die sowohl in $A$ als auch in $\overline{C}$ vorkommen:

$A \cap \overline{C} = \{-1, 1, \}$

c) Es wird nun die Komplementärmenge $\overline{B}$ gebildet:

$\overline{B} = \{-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 6 \}$.

Anschließend wird der Durchschnitt gebildet:

$(A \cap \overline{B}) = \{-1, 0, 1 \}$

Es wird nun mit dem Ergebnis die Vereinigung mit $B$ gebildet. Hierbei werden alle Elemente berücksichtigt, die sowohl in $(A \cup \overline{B})$ als auch in $B$ sowie in beiden vorkommen:

$(A \cap \overline{B}) \cup B = \{-1,0,1,2,3,4,5 \}$

d) Es wird zunächst die Komplementärmenge von $\overline{A}$ gebildet:

$\overline{A} = \{-5,-4,-3,-2,3,4,5,6 \}$.

Anschließend wird die Vereinigung gebildet:

$\overline{A} \cup B = \{-5,-4,-3,-2,2, 3,4,5,6 \}$

e) Es wird als nächstes die Vereinigung der Mengen $A$ und $C$ gebildet:

$A \cup C = \{-1,0,1,2,6 \}$

f) Danach wird die Vereinigung der Mengen $B$ und $C$ gebildet:

$B \cup C = \{0,2,3,4,5,6 \}$

g) Zuerst wird die Vereinigung der Mengen $A$ und $B$ gebildet:

$(A \cup B) = \{-1,0,1,2,3,4,5 \}$

Danach wird die Vereinigung aus dem obigen Ergebnis mit der Menge $C$ gebildet:

 $(A \cup B) \cup C = \{-1,0,1,2,3,4,5,6 \}$

h) Es wird zunächst der Durchschnitt aus $A$ und $B$ gebildet:

$(A \cap B) = \{2 \}$

Danach wird der Durchschnitt mit $C$ gebildet:

$(A \cap B) \cap C = \{2 \}$.

i) Die Komplementärmenge wurde bereits weiter oben bestimmt. Es wird jetzt der Durchschnitt gebildet:

 $\overline{A} \cap B = \{3, 4, 5 \}$

j) Die Komplementärmengen sind bereits alle oben bestimmt worden. Es wird zunächst der Durchschnitt gebildet:

$(\overline{A} \cap \overline{B}) = \{-5,-4,-3,-2,6 \}$

Dann wird die Vereinigung mit $\overline{C}$ gebildet:

$(\overline{A} \cap \overline{B}) \cup \overline{C} = \{-5,-4,-3,-2,-1,1,3,4,5,6 \}$

k) Es wird zunächst der Durchschnitt von $A$ und $B$ gebildet:

$A \cap B = \{2 \}$

Danach wird die Vereinigung mit $C$ gebildet:

$(A \cap B) \cup C = \{0,2,6 \}$

Es wird darauffolgend die Komplementärmenge des obigen Ergebnisses gebildet:

 $\overline{(A \cap B) \cup C} = \{-5,-4,-3,-2,-1,1,3,4,5 \}$

3. Beispiel zur Mengenlehre

Beispiel

Man zeige:

$X \backslash (A \cup B) = (X \backslash A) \cap (X \backslash B)$

Es wird gezeigt, dass $X \backslash (A \cup B) = (X \backslash A) \cap (X \backslash B)$.

Es werden die Elemente $x$ der linken Seite betrachtet und diese dann so umgeformt, dass folgende rechte Seite resultiert:

$x \in X \backslash (A \cup B) $

Die Vereinigung $(A \cup B)$ bedeutet, dass alle Elemente sowohl in $A$ als auch in $B$ als auch in beiden vorkommen. Bildet man demnach zuerst die Vereinigung, bedeutet dies:

$x \in (A \cup B)$ 

und damit

$x \in A \wedge x \in B$  (Elemente in A und B)

Methode

$x \in (A \cup B) = x \in A \wedge x \in B$ 

Es ist die Differenz aus $X$ und der Vereinigung von $(A \cup B)$ zu bilden. Das bedeutet, alle Elemente die in $X$ vorkommen, aber nicht in der Vereinigung von $A$ und $B$. Das kann man demnach auch schreiben zu:

$x \in X \wedge x \not\in (A \cup B) $

und für:

$x \not\in (A \cup B) = x \not\in A \wedge x \not\in B$:

$x \in X \wedge (x \not\in A \wedge x \not\in B) $

Das bedeutet demnach, dass $x$ ein Element von $X$ und Nichtelement von $A$ und $B$ ist. Oder anders: $x$ ist Element von $X$ und nicht von $A$ und $x$ ist Element von $X$ und nicht von $B$:

$(x \in X \wedge x \not\in A) \wedge (x \in X \wedge x \not\in B) $

Das wiederum gibt die Differenz wieder:

$(x \in X \backslash A) \wedge (x \in X \backslash B) $

$x$ ist Element von $X$ und nicht von $A$ UND $x$ ist Element von $X$ und nicht von $B$. Dieses UND entspricht der Vereinigung:

$(x \in X \backslash A) \cup (x \in X \backslash B) $

Zahlenbeispiel zur Mengenlehre

Beispiel

$X = \{1,2,3,4,5,6,7 \}$, $A = \{1,2,3 \}$, $B = \{3,4,5 \}$


$X \backslash (A \cup B)$:

$A \cup B = \{1,2,3,4,5 \}$

$X \backslash (A \cup B) = \{6,7\}$.

$(X \backslash A) \cap (X \backslash B)$:

$X \backslash A = \{4,5,6,7 \}$

$X \backslash B = \{1,2,6,7 \}$

$(X \backslash A) \cap (X \backslash B) = \{6,7\}$