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Fakultät
Die Fakultät n! ist ein wichtiges Produkt in der Mathematik und wird sehr häufig in der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik verwendet.
Methode
Definition
Für alle natürlichen Zahlen gilt:
$0! = 1$
$\begin{equation} n! := n(n-1)! = n(n-1) \cdot \cdot \cdot 2 \cdot 1 = \prod\limits_{k = 1}^n k = \begin{cases} 1 & \text{für } n < 2 \\ 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot n & \text{für } n \ge 2 \end{cases} \end{equation}$
Zahlenbeispiele Fakultät
$0! = 1$
$1! = 1$
$2! = 2 \cdot 1 = 2$
$3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$
$4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 =24$
$5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120$
$6! = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 720$
Mit $n(n-1)!$ ergibt sich dasselbe Ergebnis:
$n = 5$:
$5 \cdot (5-1)! = 5 \cdot 4! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120$
Beispiel
Es ergeben sich $ 3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$ verschiedene Varianten einer Reihenfolge:
$(1)$ rot, blau, grün; $(2)$ rot, grün, blau; $(3)$ blau, grün, rot; $(4)$ blau, rot, grün; $(5)$ grün, rot, blau; $(6)$ grün, blau, rot
Binomialkoeffizienten
Methode
Für zwei ganze Zahlen $n,k \in \mathbb{N}$, $n \ge k$ bezeichnet man die ganze Zahl
${n \choose k} := \frac{n!}{k!(n-k)!}$
als Binomialkoeffizient.
Pascalsche Dreieck
Wichtig sind folgende Eigenschaften der Binomialkoeffizienten, welche ihre Berechnung aus dem Pascalschen Dreieck nach Blaise Pascal (1623-1662) erlauben:
Methode
(1) $ {n \choose k} = {n \choose n - k}$
(2) ${n \choose k} + {n \choose k+1} = {n+1 \choose k+1} $
Merke
Beispiel
${5 \choose 4} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} $
Anstelle die obigen Fakultäten 5! und 4! komplett aufzuschreiben, können wir hier auch ab Fakültät 3! im Zähler und Nenner kürzen:
${5 \choose 4} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3!}{4 \cdot 3!} $ |kürzen
${5 \choose 4} = \frac{5 \cdot 4}{4} = 5$
Anwendungsbeispiel: Binominalkoeffizient
Beispiel
Beim Lotto 6 aus 49 ist die Anzahl der möglichen Ziehungen 49 über 6:
${49 \choose 6} = \frac{49!}{6!(49-6)!} = \frac{49!}{6!43!}$
$=\frac{\not1*\not2*\not3*...*\not43*44*45*46*47*48*49}{(1*2*3*...*5*6)(\not1*\not2*\not3*...*\not43)} = \frac{44*45*46*47*48*49}{1*2*3*...*5*6} = 13.983.816$
verschiedene Möglichkeiten 6 "Richtige" zu ziehen.
Hinweis
In diesem Beispiel können wir den Wert auch gut ohne Fakultät berechnen, da sich der Nenner und der Zähler größtenteils wegkürzen. Weitere Beispiele findest Du am Ende das Kapitels unter Anwendungsbeispiele: Mengenlehre und reelle Zahlen.
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