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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra - Fakultät und Binomialkoeffizienten

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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra

Fakultät und Binomialkoeffizienten

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Fakultät

Die Fakultät n! ist ein wichtiges Produkt in der Mathematik und wird sehr häufig in der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik verwendet. 

Methode

Definition

$\begin{equation} n! = \begin{cases} 1 & \text{für } n < 2 \\ 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot n & \text{für } n \ge 2 \end{cases} \end{equation}$

Zahlenbeispiele Fakultät

$0! = 1$

$1! = 1$

$2! = 2 \cdot 1 = 2$

$3! = 3 \cdot 2  \cdot 1 = 6$

$6! = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2  \cdot 1 = 720$

Beispiel

3 verschieden farbige Billardkugeln (rot, blau, grün) sollen nacheinander eingelocht werden. Wie viele Variationen einer Reihenfolge ergeben sich?

Es ergeben sich $ 3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$ verschiedene Varianten einer Reihenfolge:

$(1)$ rot, blau, grün; $(2)$ rot, grün, blau; $(3)$ blau, grün, rot; $(4)$ blau, rot, grün; $(5)$ grün, rot, blau; $(6)$ grün, blau, rot

Binomialkoeffizienten

Für zwei ganze Zahlen $n,k$ mit $0 \le k \le n$ bezeichnet man die ganze Zahl

Methode

${n \choose k} := \frac{n!}{k!(n-k)!}$   als Binomialkoeffizient


Wichtig sind folgende Eigenschaften, welche die Berechnung der Binomialkoeffizienten aus dem Pascalschen Dreieck nach Blaise Pascal (1623-1662) erlauben:

(1) ${n \choose 0}  = 1$, ${n \choose n} = 1$.

(2) ${n \choose k} + {n \choose k-1} = {n+1 \choose k} $

Merke

Es gibt ${n \choose k}$ Möglichkeiten aus insgesamt $n$ Elementen genau $k$ auszuwählen.

Anwendungsbeispiel: Binominalkoeffizient

Beispiel

Beim Lotto >>6 aus 49<< werden aus den 49 Zahlen 6 Zahlen gezogen. Es gibt

${49 \choose 6} = \frac{49!}{6!(49-6)!} = \frac{49!}{6!43!}$

$=\frac{\not1*\not2*\not3*...*\not43*44*45*46*47*48*49}{(1*2*3*...*5*6)(\not1*\not2*\not3*...*\not43)} = \frac{44*45*46*47*48*49}{1*2*3*...*5*6} = 13.983.816$

verschiedene Möglichkeiten 6 "Richtige" zu ziehen.

In diesem Beispiel kann man den Wert auch gut ohne Fakultät berechnen, da sich der Nenner und der Zähler größtenteils wegkürzen. Weitere Beispiele am Ende das Kapitels unter Anwendungsbeispiele: Mengenlehre und reelle Zahlen.

Video: Fakultät und Binomialkoeffizienten