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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra - Fakultät und Binomialkoeffizienten

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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra

Fakultät und Binomialkoeffizienten

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Fakultät

Die Fakultät n! ist ein wichtiges Produkt in der Mathematik und wird sehr häufig in der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik verwendet. 

Methode

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Definition

Für alle natürlichen Zahlen gilt:

$0! = 1$

$\begin{equation} n! := n(n-1)! = n(n-1) \cdot \cdot \cdot 2 \cdot 1 = \prod\limits_{k = 1}^n k = \begin{cases} 1 & \text{für } n < 2 \\ 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot n & \text{für } n \ge 2 \end{cases} \end{equation}$

Zahlenbeispiele Fakultät

$0! = 1$

$1! = 1$

$2! = 2 \cdot 1 = 2$

$3! = 3 \cdot 2  \cdot 1 = 6$

$4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 =24$

$5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120$

$6! = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2  \cdot 1 = 720$

 

Mit $n(n-1)!$ ergibt sich dasselbe Ergebnis:

$n = 5$:

$5 \cdot (5-1)! = 5 \cdot 4! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120$

Beispiel

Hier klicken zum Ausklappen3 verschieden farbige Billardkugeln (rot, blau, grün) sollen nacheinander eingelocht werden. Wie viele Variationen einer Reihenfolge ergeben sich?

Es ergeben sich $ 3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$ verschiedene Varianten einer Reihenfolge:

$(1)$ rot, blau, grün; $(2)$ rot, grün, blau; $(3)$ blau, grün, rot; $(4)$ blau, rot, grün; $(5)$ grün, rot, blau; $(6)$ grün, blau, rot

Binomialkoeffizienten

Methode

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Für zwei ganze Zahlen $n,k \in \mathbb{N}$, $n \ge k$  bezeichnet man die ganze Zahl

${n \choose k} := \frac{n!}{k!(n-k)!}$    

als Binomialkoeffizient.

Pascalsche Dreieck

Wichtig sind folgende Eigenschaften der Binomialkoeffizienten, welche ihre Berechnung aus dem Pascalschen Dreieck nach Blaise Pascal (1623-1662) erlauben:

Methode

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(1) $ {n \choose k} = {n \choose n - k}$

(2) ${n \choose k} + {n \choose k+1} = {n+1 \choose k+1} $

 

Merke

Hier klicken zum AusklappenEs gibt ${n \choose k}$ Möglichkeiten aus insgesamt $n$ Elementen genau $k$ auszuwählen.

 

Beispiel

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${5 \choose 4} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} $

Anstelle die obigen Fakultäten 5! und 4! komplett aufzuschreiben, können wir hier auch ab Fakültät 3! im Zähler und Nenner kürzen:

${5 \choose 4} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3!}{4 \cdot 3!} $                     |kürzen

${5 \choose 4} = \frac{5 \cdot 4}{4} = 5$

Anwendungsbeispiel: Binominalkoeffizient

Beispiel

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Beim Lotto 6 aus 49 ist die Anzahl der möglichen Ziehungen 49 über 6:

${49 \choose 6} = \frac{49!}{6!(49-6)!} = \frac{49!}{6!43!}$

$=\frac{\not1*\not2*\not3*...*\not43*44*45*46*47*48*49}{(1*2*3*...*5*6)(\not1*\not2*\not3*...*\not43)} = \frac{44*45*46*47*48*49}{1*2*3*...*5*6} = 13.983.816$

verschiedene Möglichkeiten 6 "Richtige" zu ziehen.

Hinweis

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In diesem Beispiel können wirn den Wert auch gut ohne Fakultät berechnen, da sich der Nenner und der Zähler größtenteils wegkürzen. Weitere Beispiele findest Du am Ende das Kapitels unter Anwendungsbeispiele: Mengenlehre und reelle Zahlen.

Video: Fakultät und Binomialkoeffizienten