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Unbestimmte Integrale

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Die Integralrechnung ist die Umkehrrechenart der Differentialrechnung, so wie beispielsweise das Subtrahieren die des Addierens ist.

Die Kennzeichnung für das Integrieren ist das Integralzeichen $\int $.

Hierbei sucht man zu einer gegebenen Ableitungsfunktion $ y' = f(x)$ deren Stammfunktion $ y = F(x)$, so dass $\frac{\triangle F(x)}{\triangle x}=f(x)$ ist. 

Eine Integration wird allgemein wie folgt durchgeführt:

Methode

$F(x) = \int x^n \; dx = \frac{1}{n+1} x^{n+1} + C$

Das $dx$ steht für die Integration nach $x$. Darauf muss bei der Integration immer geachtet werden. $C$ ist die Integrationskonstante (siehe unten).

Beispiel

Integriere die Ableitung f(x) = 2$

$\int 2 \; dx  = \int 2 x^0 \; dx$ mit $x^0 = 1$

Dabei ist $n = 0$:

$F(x) = \frac{1}{n+1} x^{n+1} + C$


Einsetzen von $n = 0$:

$F(x) = \frac{1}{0+1} x^{0+1} + C$

$F(x) = \frac{1}{1} x^{1} + C$

$F(x) = x + C$

Beispiel

Integiere die Ableitung $f(x) = x^2$.

$\int x^2 \; dx $

Dabei ist $n = 2$:

$F(x) = \frac{1}{n+1} x^{n+1} + C$


Einsetzen von $n = 2$:

$F(x) = \frac{1}{2+1} x^{2+1} + C$

$F(x) = \frac{1}{3} x^{3} + C$

Beispiel

Integriere die Ableitung $\ f(x)=4x^3 + 2x $

Bei mehreren Termen, muss jeder für sich betrachtet werden:

$\int 4x^3 + 2x \; dx = \frac{1}{4} \cdot 4x^4 + \frac{1}{2} \cdot 2x^2 + C,  \; \; C \in \mathbb{R} $

$F(x) =  x^4 +x^2 + C,  \; \; C \in \mathbb{R} $

Integrationskonstante C

Problematisch hierbei ist, dass die durch eine Integration entstehende additive Konstante C, die Integrationskonstante, jeden beliebigen konstanten Betrag besitzen kann, welcher den Funktionsgraph der Stammfunktion nach oben oder unten verschiebt, wodurch es unendlich viele Lösungen, bzw. Stammfunktionen für dieses Problem gibt [siehe Grafik].

Die Funktion könnte also z.B. so aussehen:

$x^4 + x^2 + 3$ die Ableitung ist: $4x^3 + 2x$

oder

$x^4 + x^2 + 15$ die Ableitung ist: $4x^3 + 2x$

...

Da in diesem Fall die Wahl der Konstanten beliebig ist, spricht man auch von einem unbestimmten Integral. Es ist nur möglich ein Integral zu lösen, wenn man bereits die Stammfunktion $\ F(x)$ der Ableitung $\ f(x)$ kennt. Ist dies nicht der Fall muss man sich auf gezieltes "Raten" verlassen und anschließend überprüfen, ob  tatsächlich $\frac{\triangle F(x)}{\triangle x}=f(x)$ ist. 

Merke

Die Menge aller Stammfunktionen einer Ableitung $f´$ wird unbestimmtes Integral von $f$ genannt: 

$\int f(x)dx= F(x) + C $
Lückentext
Bitte die Lücken im Text sinnvoll ausfüllen.

Die Integralrechnung ist die Umkehrrechenart der , so wie beispielsweise das Subtrahieren die des Addierens ist. Die Kennzeichnung für das Integrieren ist das .

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Hinweis:

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Autor: Jessica Scholz

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Jessica Scholz verfügt über langjährige Erfahrung auf diesem Themengebiet.
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    "Waaaaaaaaaaaaaaaaaaahnsinn einfach nur sein Geld wert :D Nur 25€ für solch einen Kurs würden auch reichen ;) wir sind schließlich Studenten und noch keine Akademiker ;-D aber auf jedenfall TOP Immer, wenn ich in der Uni sitze und nichts verstehe und dann an diesen Kurs hier denke, komme ich mir in der Uni richtig dumm vor :-D mir fehlen einfach die Worte Note 1 reicht garnicht :)"

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    Ein Kursnutzer am 13.10.2014:
    "Kurz und kapp,werden die Inhalte (wesentliche und wichtige) verständlich erklärt. "

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    Ein Kursnutzer am 22.08.2014:
    "Hätte ich das nur während dem Abi damals gewusst :D Ich war damals aber auch faul, sehr gut das man hier an den Basics anfängt und Schritt für Schriit nochmal alles erklärt bekommt =)))"

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