Unbestimmte Integrale

Die Integralrechnung ist die Umkehrrechenart der Differentialrechnung, so wie beispielsweise das Subtrahieren die des Addierens ist.

Die Kennzeichnung für das Integrieren ist das Integralzeichen $\int $.

Hierbei sucht man zu einer gegebenen Ableitungsfunktion $ y' = f(x)$ deren Stammfunktion $ y = F(x)$, so dass $\frac{\triangle F(x)}{\triangle x}=f(x)$ ist. 

Eine Integration wird allgemein wie folgt durchgeführt:

Das $dx$ steht für die Integration nach $x$. Darauf muss bei der Integration immer geachtet werden. $C$ ist die Integrationskonstante (siehe unten).

Da in dieser Funktion kein $x$ vorhanden ist, kann man stattdessen $x^0 = 1$ schreiben. Es ist also $n = 0$:

$\int 2 \; dx  = \int 2 x^0 \; dx$

Dabei ist $n = 0$:

$F(x) = 2 \frac{1}{n+1} x^{n+1} + C$

Einsetzen von $n = 0$:

$F(x) = 2 \frac{1}{0+1} x^{0+1} + C$

$F(x) = 2 \frac{1}{1} x^{1} + C$

$F(x) = 2 x + C$

$\int x^2 \; dx $

Dabei ist $n = 2$:

$F(x) = \frac{1}{n+1} x^{n+1} + C$

Einsetzen von $n = 2$:

$F(x) = \frac{1}{2+1} x^{2+1} + C$

$F(x) = \frac{1}{3} x^{3} + C$

Bei mehreren Termen, muss jeder für sich betrachtet werden:

$\int 4x^3 + 2x \; dx = \frac{1}{4} \cdot 4x^4 + \frac{1}{2} \cdot 2x^2 + C,  \; \; C \in \mathbb{R} $

$F(x) =  x^4 +x^2 + C,  \; \; C \in \mathbb{R} $

Integrationskonstante C

Problematisch hierbei ist, dass die durch eine Integration entstehende additive Konstante C, die Integrationskonstante, jeden beliebigen konstanten Betrag besitzen kann, welcher den Funktionsgraph der Stammfunktion nach oben oder unten verschiebt, wodurch es unendlich viele Lösungen, bzw. Stammfunktionen für dieses Problem gibt [siehe Grafik].

Unbestimmtes Integral

Die Funktion könnte also z.B. so aussehen:

$x^4 + x^2 + 3$ die Ableitung ist: $4x^3 + 2x$

oder

$x^4 + x^2 + 15$ die Ableitung ist: $4x^3 + 2x$

...

Da in diesem Fall die Wahl der Konstanten beliebig ist, spricht man auch von einem unbestimmten Integral. Es ist nur möglich ein Integral zu lösen, wenn man bereits die Stammfunktion $\ F(x)$ der Ableitung $\ f(x)$ kennt. Ist dies nicht der Fall muss man sich auf gezieltes "Raten" verlassen und anschließend überprüfen, ob  tatsächlich $\frac{\triangle F(x)}{\triangle x}=f(x)$ ist.