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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra - Unbestimmte Integrale

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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra

Unbestimmte Integrale

Inhaltsverzeichnis

Die Integralrechnung ist die Umkehrrechenart der Differentialrechnung, so wie beispielsweise das Subtrahieren die des Addierens ist.

Die Kennzeichnung für das Integrieren ist das Integralzeichen $\int $.

Hierbei sucht man zu einer gegebenen Ableitungsfunktion $ y' = f(x)$ deren Stammfunktion $ y = F(x)$, so dass $\frac{\triangle F(x)}{\triangle x}=f(x)$ ist. 

Eine Integration wird allgemein wie folgt durchgeführt:

Methode

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$F(x) = \int x^n \; dx = \frac{1}{n+1} x^{n+1} + C$

Das $dx$ steht für die Integration nach $x$. Darauf muss bei der Integration immer geachtet werden. $C$ ist die Integrationskonstante (siehe unten).

Beispiel

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Integriere die Ableitung $f(x) = 2$

Da in dieser Funktion kein $x$ vorhanden ist, kann man stattdessen $x^0 = 1$ schreiben. Es ist also $n = 0$:

$\int 2 \; dx  = \int 2 x^0 \; dx$


Dabei ist $n = 0$:

$F(x) = 2 \frac{1}{n+1} x^{n+1} + C$


Einsetzen von $n = 0$:

$F(x) = 2 \frac{1}{0+1} x^{0+1} + C$

$F(x) = 2 \frac{1}{1} x^{1} + C$

$F(x) = 2 x + C$

Beispiel

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Integiere die Ableitung $f(x) = x^2$.

$\int x^2 \; dx $


Dabei ist $n = 2$:

$F(x) = \frac{1}{n+1} x^{n+1} + C$


Einsetzen von $n = 2$:

$F(x) = \frac{1}{2+1} x^{2+1} + C$

$F(x) = \frac{1}{3} x^{3} + C$

Beispiel

Hier klicken zum Ausklappen Integriere die Ableitung $\ f(x)=4x^3 + 2x $

Bei mehreren Termen, muss jeder für sich betrachtet werden:

$\int 4x^3 + 2x \; dx = \frac{1}{4} \cdot 4x^4 + \frac{1}{2} \cdot 2x^2 + C,  \; \; C \in \mathbb{R} $

$F(x) =  x^4 +x^2 + C,  \; \; C \in \mathbb{R} $

Integrationskonstante C

Problematisch hierbei ist, dass die durch eine Integration entstehende additive Konstante C, die Integrationskonstante, jeden beliebigen konstanten Betrag besitzen kann, welcher den Funktionsgraph der Stammfunktion nach oben oder unten verschiebt, wodurch es unendlich viele Lösungen, bzw. Stammfunktionen für dieses Problem gibt [siehe Grafik].

Unbestimmtes Integral
Unbestimmtes Integral

Die Funktion könnte also z.B. so aussehen:

$x^4 + x^2 + 3$ die Ableitung ist: $4x^3 + 2x$

oder

$x^4 + x^2 + 15$ die Ableitung ist: $4x^3 + 2x$

...

Da in diesem Fall die Wahl der Konstanten beliebig ist, spricht man auch von einem unbestimmten Integral. Es ist nur möglich ein Integral zu lösen, wenn man bereits die Stammfunktion $\ F(x)$ der Ableitung $\ f(x)$ kennt. Ist dies nicht der Fall muss man sich auf gezieltes "Raten" verlassen und anschließend überprüfen, ob  tatsächlich $\frac{\triangle F(x)}{\triangle x}=f(x)$ ist. 

Merke

Hier klicken zum Ausklappen Die Menge aller Stammfunktionen einer Ableitung $f´$ wird unbestimmtes Integral von $f$ genannt: 

$\int f(x)dx= F(x) + C $