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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra - Uneigentliche Integrale Typ 1

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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra

Uneigentliche Integrale Typ 1

Typ I Integrale mit unbeschränkten Integrationsintervallen

$\ [a, \infty)$ z.B. $\int_1^{\infty} \frac{1}{x} dx $

Wie in der obigen Funktion besitzt das Integral vom Typ I immer mindestens eine Integrationsgrenze, die den Wert unendlich hat.
Da das uneigentliche Integral als Grenzwert von bestimmten Integralen definiert ist, besitzt es folgenden Ausdruck:

$\int_a^\infty f(x)dx = \lim_{r \to \infty} \int_a^r f(x)dx$. 

Zum Vorgehen

Zuerst ist  das Integral  $ \int_a^r f(x) dx$  in Abhängigkeit von  $r$  zu berechnen und von diesem Ergebnis anschließend der Grenzwert für $\ r \rightarrow \infty $ zu bestimmen. Diese Möglichkeit ist jedoch nur gegeben, wenn überhaupt ein Grenzwert existiert. 

Beispiel

Bestimmte den Grenzwert für das uneigentliche Integral $\int_1^{\infty} \frac{1}{\sqrt{x}}dx$.

1. Entfernung der Wurzel durch Umformung

$\int_1^{\infty} \frac{1}{\sqrt{x}}dx= \int_1^{\infty} x^{\frac{-1}{2}} dx$.

2. Untersuchung des Grenzwertes

$\lim\limits_{r \to \infty} \int_1^r x^{\frac{-1}{2}} dx $.

3. Berechnung des  bestimmten Integral in Abhängigkeit von $r$ 

$\int_1^r x^{\frac{-1}{2}}dx = [2x^{\frac{1}{2}}]_1^r = 2 \sqrt{r} - 2$

4. Berechnung des Grenzwertes

$\lim\limits_{r \to \infty}(2 \sqrt{r} - 2) = \infty   \rightarrow$ daraus ergibt sich, dass das uneigentliche Integral nicht existiert. 

Ist hingegen das Intervall auf beiden Seiten unbeschränkt, so zerlegt man dieses an einem gewählten Teilpunkt in zwei Teilintervalle und betrachtet diese anschließend getrennt voneinander. Liefert das Ergebnis, dass beide Teilintegrale einen endlichen Wert besitzen, so existiert auch das Gesamtintervall.