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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra - Integration nicht-rationaler Zahlen bei unbestimmten Integralen

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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra

Integration nicht-rationaler Zahlen bei unbestimmten Integralen

Im Gegensatz zu den bisherigen rationalen Funktionen, existiert für nicht-rationale Funktionen kein allgemeines Rechenverfahren um die unbestimmten Integrale zu berechnen. Zur Lösung diese Problems greift man auf bisher erlernte "Werkzeuge" zurück.
Durch Substituieren  lässt sich der Integrand rationalisieren und nach Bedarf anschließend mittels Partialbruchzerlegung integrieren. 

Ein derartiger Fall wird im Folgenden anhand einer Wurzelfunktion exemplarisch vorgerechnet.

Beispiel

Hier klicken zum Ausklappen Gegeben sei $\int \frac{dx}{\sqrt[3]{x}(\sqrt[3]{x}+1)}$.

Um diese Wurzelfunktion zu integrieren bedarf es der Substitution:

I. Man substituiert: $\sqrt[3]{x} = t$ und löst diese anschließend nach $x$ auf.

$\sqrt[3]{x} = t \rightarrow x = t^3 $

II. Danach leitet man $\ x= t^3 $ nach $\ t$ ab und erhält

$\ x= t^3 \rightarrow  dx = 3t^2\ dt $.

III. Die ermittelten Substitute setzt man ein und kürzt:

$\int \frac{dx}{\sqrt[3]{x}(\sqrt[3]{x}+1)} \rightarrow \int \frac{3t^2\ dt}{t(t+1)}= 3 \int \frac{t\ dt}{t+1}$ 

IV. Als nächstes erweitert man den Zähler mit $(+1-1)$ und zerlegt das Integral:

$ 3 \int \frac{t\ dt}{t+1}= 3\int \frac{t+1-1}{t+1} dt \rightarrow 3\int \frac{t+1}{t+1} dt + 3\int \frac{-1}{t+1} dt$

$ = 3 \int 1 dt - 3\int \frac{1}{t+1} dt$

V. Im letzten Schritt kann man die Integrale auflösen und die Funktion rücksubstituieren:

$3 \int dt - 3 \int \frac{dt}{t+1} = 3 t - 3 \ln |t+1| + C \rightarrow 3 \sqrt[3]{x} - 3 \ln |\sqrt[3]{x}+1| + C$

Im obigen Beispiel war eine Partialbruchzerlegung nicht erforderlich, wird aber nach Bedarf wie bisher erlernt angewandt.