Jetzt neu: Steuerrecht online lernen auf steuerkurse.de!
ZU DEN KURSEN!

Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra - Wurzelfunktionen

Kursangebot | Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra | Wurzelfunktionen

Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra

Wurzelfunktionen

Die Wurzelfunktion ist eine algebraische, jedoch nichtrationale Funktion. Sie ist die Umkehrfunktion der Potenzfunktion.

Die allgemeine Form der Wurzelfunktion lautet:

Merke

Hier klicken zum Ausklappen

allgemeine Wurzelfunktion: $f(x) = \sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}} \;\;\;\; | x \in \mathbb{R}^+_0 \;$ und $\; n \in \mathbb{N}$

Wir bezeichnen

$\sqrt[n]{x} \;$ als Wurzel, Radikal oder Radix,
$n \;$ als Wurzelexponent und
$x \;$ als Radikand.

Das Radizieren mit dem Wurzelexponenten $n$ hebt das Potenzieren mit dem Exponenten $n$ auf. Wenn wir eine Zahl $x$ mit dem Wert $n$ potenzieren und anschließend aus dem Ergebnis die $n$-te Wurzel ziehen, erhalten wir wiederum die Zahl $x$.

Methode

Hier klicken zum Ausklappen

$\Longrightarrow f(x) = \sqrt[n]{x^n} = x$

Wir können auch sagen, dass das Radizieren mit dem Wurzelexponenten $n$ dem Potenzieren mit $\frac{1}{n}$ entspricht.

Methode

Hier klicken zum Ausklappen

$\Longrightarrow f(x) = (x^{\frac{1}{n}})^n = x^{\frac{n}{n}} = x^1 = x$

Beispiel

Hier klicken zum Ausklappen

$f(25) = \sqrt[5]{25^5} = 25^{\frac{5}{5}} = 25$

 

Wurzeln aus positiven Zahlen

Wie du eingangs gelesen hast, ist die Wurzelfunktion die Umkehrung der Potenzfunktion. Potenzfunktionen mit geradzahligen Exponenten besitzen im Gegensatz zu Potenzfunktionen mit ungeradzahligen Exponenten zwei Lösungen.

Beispiel

Hier klicken zum Ausklappen

geradzahlige Exponenten: $x^2 = 9 \longrightarrow x = 3 \;$ und $\; x = -3$

Vergleichen wir nun mit ungeradzahligen Exponenten, so sehen wir, dass bei ungeradzahligen Exponenten nur eine Lösung existiert.
$(x_1)^3 = 8 \longrightarrow x_1 = \sqrt[3]{8} = 2$
$(x_2)^3 = -8 \longrightarrow x_2 = - \sqrt[3]{8} = -2$

Setzten wir bspw. $x_2$ für $x_1$ in die Gleichung für $x_1$ ein, so erhielten wir nicht dasselbe Ergebnis:

$(x_2)^3 \neq 8$

Besitzt also die Potenzfunktion mit geradem Exponenten zwei möglichen Lösungen, steht jedoch die Schreibweise mit dem Wurzelzeichen grundsätzlich für die positive Lösung.

Beispiel

Hier klicken zum Ausklappen

$x = \sqrt[2]{9} = 3 \;$ Jedoch nicht $-2$.

Daraus folgt allgemein für Wurzeln positiver Zahlen mit geradzahligem Wurzelexponenten $2n$:

Merke

Hier klicken zum Ausklappen

$\sqrt[2n]{x^{2n}} = \vert x \vert$

 

Wurzeln aus negativen Zahlen

In vielen Schulbüchern wird noch die Konvention verwendet, dass das Wurzelziehen nur für positive Radikanden definiert ist.

Geradzahlige Wurzelexponenten

Wurzeln mit geraden Wurzelexponenten aus negativen Zahlen sind für relle Zahlen nicht definiert. Erinnere dich an das Kapitel Komplexe Zahlen. Es existiert keine relle Zahl $x$, sodass $x^2 = -1$ gilt. Daraus folgt, dass keine reelle Lösung für $x = \sqrt[2]{-1}$ existiert. Aus diesem Grund sind die komplexen Zahlen eingeführt worden.

Ungeradzahlige Wurzelexponenten

Wurzeln mit ungeraden Wurzelexponenten aus negativen Zahlen sind erlaubt.

Für Wurzeln negativer reller Zahlen mit ungeradem Wurzelexponenten gilt allgemein:

Merke

Hier klicken zum Ausklappen

Die Zahl $y \in \mathbb{R}$ ist diejenige Zahl $y = \sqrt[2n+1]{x}$, für die gilt:

$y^{2n+1} = x$


Weiterhin können wir für oben genannte Wurzeln festlegen:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen

$\sqrt[2n+1]{-x} = - \sqrt[2n+1]{x}$

Diese Festlegung ist wichtig, da die Schreibweise bspw. $\sqrt[3]{-8}$ undefiniert ist. (Boah, echt ey Leute, fragt mich nicht warum, ich habe keine vernünftige Formulierung gefunden, das müsst ihr leider erstmal so hinnehmen. [Anm. Axel])
Schreibe daher stets $\Longrightarrow - \sqrt[3]{8}$ anstatt $\sqrt[3]{-8}$!

Jedoch ist diese Festlegung mit einigen Eigenschaften der Wurzeln nicht vereinbar:

Beispiel

Hier klicken zum Ausklappen

Den Ausdruck $-2 = - \sqrt[3]{8} = \sqrt[3]{-8}$ könnten wir auch erweitert schreiben als $\sqrt[3 \cdot 2]{-8^2} = \sqrt[6]{-8^2}$. Da jedoch $(-8)^2 = 64$, folgt: $\sqrt[6]{64} = +2$! Dies widerspricht der Lösung der Ausgangsgleichung.

Formulieren wir die Wurzelfunktion als $f(x) = \sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}}$,

so funktioniert diese Festlegung ebenso nicht, da wir auch umformulieren können in $f(x) = x^{\frac{1}{n}} = exp(\frac{1}{n} log(x))$.

Da der Logarithmus von negativen Zahlen nicht definiert ist, siehst du, dass in diesem Fall die Festlegung nicht richtig ist.

 

Wurzelgesetze

Die Rechenregeln für die Wurzelfunktionen ergeben sich direkt aus Regeln für das Potenzieren. Für die Zahlen $a$ und $b \in \mathbb{R_0^+} sowie für die Zahlen $n, m, k \in \mathbb{N}$ gelten die folgenden Regeln:

  • Produktregel: $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$
  • Quotientenregel: $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$
  • gleicher Radikand: $\sqrt[m]{a} \cdot \sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{m} + \frac{1}{n}} = \sqrt[m \, \cdot \, n]{a^{m + n}}$
  • Iterationsregel (Verschachtelungsregel): $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m \, \cdot \, n]{a}$
  • Definition für gebrochenen Exponenten: $a^{\frac{k}{n}} = \sqrt[n]{a^k} = (\sqrt[n]{a})^k$
  • Definition für negativen Exponenten: $a^{- \frac{k}{n}} = \frac{1}{a^{\frac{k}{n}}}$