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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra - Komplexe Zahlen und Polarkoordinaten

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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra

Komplexe Zahlen und Polarkoordinaten

Durch den Abstand  $r$  (Radius) lässt sich die Lage eines Punktes ermitteln. Dabei ist $\vec{r}$ der Vektor der auf den Punkt zeigt und $r = |\vec{r}|$ ist die Länge des Vektors. Dieser Zusammhang wurde bereits im Kapitel Vektorrechnung behandelt. Ist der Vektor $\vec{r} \neq (0,0)$ (also vom Nullvektor verschieben), dann ist die Länge des Vektor größer Null: $r > 0$.  Genau dann existiert ein Winkel  $\varphi$, welcher sich mit der positiven x-Achse (Polarwinkel) kennzeichen lässt:

Polarkoordinaten
Polarkoordinaten

Umformung von kartesische in polare Koordinaten

Wir wollen nun also einen Punkt im obigen Koordinatensystem beschreiben. Wenn wir diesen Punkt in kartesische Koordinate angeben, so verwenden wir die $x$- und $y$-Koordinaten.

Wir können aber auch Polarkoordinaten verwenden, um einen Punkt im obigen Koordinatensystem anzugeben. Hier benötigen wir die Länge des Vektors $r = |\vec{r}|$ und den Winkel $\varphi$ zwischen dem Vektor $\vec{r}$ und der $x$-Achse.

Wir können hierzu die folgenden Umformungen verwenden:

(1)  $x = r \cdot \cos (\varphi)$    

(2)  $y = r \cdot \sin (\varphi)$ 

(3)  $z = x + iy = r [\cos (\varphi) + i \cdot \sin (\varphi)]$

(4)  $r = |z| = \sqrt{x^2 + y^2}$

(5) $ \tan \varphi = \frac{y}{x}$

Berechnung des Winkels 

Der Winkel kann aus der Formel (5) bestimmt werden, indem diese nach $\varphi$ aufgelöst wird:

$\varphi = \arctan(\frac{y}{x})$

Die Ausgabe des Winkels kann dabei in Grad (°) oder in Radiant erfolgen. Der Radiant ist ein Winkelmaß, bei dem der Winkel durch die Länge des entsprechenden Kreisbogens im Einheitskreis angegeben wird. Ein Vollwinkel also 360° entsprechen dabei $2 \pi rad$. Über den Taschenrechner kann die Aussabe des Winkels in Grad oder Radiant bestimmt werden.

Expertentipp

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Häufig wird die Ausgabe eines Winkels in Radiant oder Grad über die Taste DRG geregelt. Dabei kann zwischen DEG, RAD oder GRD unterschieden werden. DEG bedeutet die Ausgabe erfolgt in Grad (°) und RAD in Radiant (rad). WICHTIG: Grundsätzlich erfolgt die Ausgabe in Grad. Sollte der Taschenrechner also auf RAD gestellt werden um die Ausgabe in Radiant zu erhalten, dann darf nicht vergessen werden den Taschenrechner danach wieder auf GRAD umzustellen.


Alternativ kann man die Ausgabe auf GRD (Grad) einstellen und dann manuell in Radiant umrechnen. Die Umrechnung von Grad in Radiant wird wie folgt durchgeführt:

Methode

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$ \varphi = \frac{\hat{\varphi}}{360°} \cdot 2\pi$

Merke

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Im Weiteren sprechen wir von $\hat{\varphi}$ wenn der Winkel in Grad (°) angegeben wird und von $\varphi$ bei der Angabe des Winkels in Radiant (rad). 


Die Berechnung des Winkels (sog. Argument von $z$) hängt vom Quadrant ab, in dem $z$ liegt:

Quadranten
Quadranten im Einheitskreis

I.Quadrant

$z$ liegt im I. Quadranten $0 \le \varphi \le \frac{\pi}{2}$, wenn $x > 0$ und $y \ge 0$:

Der Winkel in Grad (°) wird dann berechnet zu:

$\hat{\varphi} = \arctan (\frac{y}{x})$

Die Angabe des Winkels in Radiant (rad) erfolgt dann mittels der folgenden Umrechnung:

$\varphi = \frac{\hat{\varphi}}{360} \cdot 2\pi$

I.Quadrant
I.Quadrant

II.Quadrant

$z$ liegt im II. Quadranten $ \frac{\pi}{2} \le \varphi \le \pi$, wenn $x < 0$ und $y \ge 0$:

Wir definieren zunächst den Winkel $\alpha$ zwischen $r$ und der negativen $x$-Achse:

Methode

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$\alpha = \arctan (\frac{y}{x})$


Um nun den Winkel zur positiven $x$-Achse zu erhalten, müssen wir diesen ermittelten Winkel von 180° abziehen:

$\rightarrow \ \hat{\varphi} = 180° - |\alpha|$

Die Umrechnung in Radiant wird dann wie folgt vorgenommen:

$\varphi = \frac{\hat{\varphi}}{360} \cdot 2\pi$

II. Quadrant
II. Quadrant

Es wird als erstes der Winkel $\alpha$ berechnet, welcher einen negativen Winkel ergibt, da $x < 0$. Der Betrag von $\alpha$ muss von den gesamten 180° abgezogen werden, damit man den Winkel $\hat{\varphi}$ erhält.

III.Quadrant

$z$ liegt im III. Quadranten $\pi \le \varphi \le \frac{3\pi}{2}$, wenn $x < 0$ und $y < 0$:

Wir definieren zunächst den Winkel $\alpha$ zwischen $r$ und der negativen $x$-Achse:

Methode

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$\alpha = \arctan (\frac{y}{x})$

Um nun den Winkel zur positiven $x$-Achse zu erhalten, müssen wir diesen ermittelten Winkel zu 180° addieren:

$\hat{\varphi} = 180° +  \alpha$

Die Umrechnung in Radiant wird dann wie folgt vorgenommen:

$\varphi = \frac{\hat{\varphi}}{360} \cdot 2\pi$

III.Quadrant
III.Quadrant

Es wird als erstes der Winkel $\alpha$ berechnet, welcher einen positiven Winkel ergibt, da $x < 0$ und $y < 0$. Dieser muss zu den gesamten 180° hinzugerechnet werden, damit man den Winkel $\hat{\varphi}$ erhält.

IV. Quadrant

$z$b liegt im IV. Quadranten $\frac{3\pi}{2} \le \varphi \le 2\pi$, wenn $x > 0$ und $y < 0$:

Wir definieren zunächst den Winkel $\alpha$ zwischen $r$ und der positiven $x$-Achse (von unten):

Methode

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$\alpha = \arctan (\frac{y}{x})$


Um nun den Winkel zur positiven $x$-Achse zu erhalten, müssen wir den Betrag des ermittelten Winkel von 360° abziehen:

$\hat{\varphi} = 360° -  |\alpha|$

Die Umrechnung in Radiant wird dann wie folgt vorgenommen:

$\varphi = \frac{\hat{\varphi}}{360} \cdot 2\pi$

IV. Quadrant
IV. Quadrant

Es wird als erstes der Winkel $\alpha$ berechnet, welcher einen negativen Winkel ergibt, da $y < 0$.Der Betrag von $\alpha$ muss von den gesamten 360° abgezogen werden, damit man den Winkel $\hat{\varphi}$ erhält.

Anwendung der Polarkoordinaten

Beispiel

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Gegeben seien die kartesischen Koordinaten  $x = -4$  und  $y = 3$  der komplexen Zahl  $z = -4 + i3$. Wie sehen die Polarkoordinaten aus?

Zunächst berehnen wir die Länge des Vektors $r$. Hierzu verwenden wir die Formel aus (4):

$r =  \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{(-4)^2 + 3^2} = \sqrt{25} = 5$


Da $x < 0$ und $y > 0$ befindet sich $z$ im II. Quadranten:

$\alpha = \arctan (\frac{3}{-4}) \approx -36,87$

$\hat{\varphi} = 180° - |36,87| = 143,13$   (Einheit: Grad)

$\varphi = \frac{143,13°}{360°} \cdot 2\pi = 2,4981$    (Einheit: Radiant)

Beispiel

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Gegeben sei die komplexe Zahl  $z = 4 - i4$. Wie sehen die Polarkoordinaten aus?

(4)  $r = \sqrt{(4)^2 + (-4)^2} = \sqrt{32}$

Da $x > 0$ und $y < 0$ befindet sich $z$ im IV. Quadranten:

$\alpha = \arctan (\frac{-4}{4}) = -45°$

$\hat{\varphi} = 360 - |45°| = 315°$   (Einheit: Grad)

$\varphi = \frac{315°}{360°} \cdot 2\pi = 5,4978 $   (Einheit: Radiant)

Eulersche Darstellung

Die Eulersche Darstellung gibt die Verbindung zwischen den trigonometrischen Funktionen und den komplexen Exponentialfunktionen mittels komplexer Zahlen an. Die Eulersche Darstellung wird im angegeben durch:

Methode

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$z = r e^{i\varphi}$                      Eulersche Darstellung

mit  

$e^{i\varphi} = cos \varphi + i \cdot sin \varphi$

Die Angabe von $\varphi$ erfolgt bei der Eulerschen Darstellung in Radiant!

Beispiel

Hier klicken zum Ausklappen Gegeben sei die komplexe Zahl  $z = 3 - i4$.  Wie sieht die Eulersche Darstellung aus?

Wir verwenden hier wieder der kartesischen Koordinaten in Polarkoordinaten:

(4) $r = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = 5$

Da $x > 0$ und $y < 0$ befindet sich $z$ im IV. Quadranten:

$\alpha = \arctan (\frac{-4}{3}) \approx -53,13$

$\hat{\varphi} = 360° - |53,13| = 306,87° $

$\varphi = \frac{306,87°}{360°}\cdot 2\pi \approx 5,356$

Nachdem wir $r$ und $\varphi$ bestimmt haben, können wir das Ganze mittels Eulersche Formel angeben:

$z = 5 e^{i  5,356}$