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Höhere Mathematik 2: Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen - Polarkoordinatendarstellung

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Höhere Mathematik 2: Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen

Polarkoordinatendarstellung

Oft ist es hilfreicher Kurven anstelle von kartesischen Koordinaten [$\ x(t)=.. $ bzw, $ y(t)=.. $] als Polarkoordinaten darzustellen.

Hierbei wird der Abstand in Abhängigkeit vom jeweiligen Winkel angegeben:

$r = r(\varphi) $ mit  $\varphi \in [a, b]$

Man kann einen Punkt auf einer Funktion auch durch Polarkoordinaten angeben. In der obigen Grafik ist der Punkt einer Funktion in $x$-$y$-Ebene zu sehen. Der Winkel $\varphi$ wird von dem Strahl $r(\varphi)$ (welcher vom Koordinatenursprung hin zum Punkt geht) zur positiven $x$-Achse abgetragen.

Die Polarkoordinaten lassen sich einfach in kartesische Koordinaten umrechnen. Es gilt:

$x = r(\varphi) \cos (\varphi)$

$y =  r(\varphi) \sin (\varphi)$

Berechnen lässt sich der Betrag des Strahls dann durch:

$r = \sqrt{x^2 + y^2}$      [Satz des Pythagoras]

Der Winkel kann berechnet werden durch:

$\tan (\varphi) = \frac{y}{x}$              (Winkelberechnungen Dreieck)

Beispiel

Gegeben sei der Punkt (3,4) auf einem Kreis. Wie sieht der Radius $r$ und der dazugehörige Winkel $\varphi$ aus?

Radius:

$r = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$

Winkel:

$\tan (\varphi) = \frac{y}{x}$

$ \varphi = \tan^{-1} \frac{4}{3} = 53,13°$.

Polarkoordinatendarstellung Beispiel