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Polarkoordinatendarstellung

WebinarTerminankündigung aus unserem Online-Kurs Thermodynamik:
 Am 13.12.2016 (ab 16:00 Uhr) findet unser nächstes Webinar statt.
Gratis-Webinar (Thermodynamik) Innere Energie, Wärme, Arbeit
- Innerhalb dieses 60-minütigen Webinares wird der 1. Hauptsatz der Thermodynamik für geschlossene Systeme behandelt und auf die innere Energie, Wärme und Arbeit eingegangen.
[weitere Informationen] [Terminübersicht]

Oft ist es hilfreicher Kurven anstelle von kartesischen Koordinaten [$\ x(t)=.. $ bzw, $ y(t)=.. $] als Polarkoordinaten darzustellen.

Hierbei wird der Abstand in Abhängigkeit vom jeweiligen Winkel angegeben:

$r = r(\varphi) $ mit  $\varphi \in [a, b]$

Man kann einen Punkt auf einer Funktion auch durch Polarkoordinaten angeben. In der obigen Grafik ist der Punkt einer Funktion in $x$-$y$-Ebene zu sehen. Der Winkel $\varphi$ wird von dem Strahl $r(\varphi)$ (welcher vom Koordinatenursprung hin zum Punkt geht) zur positiven $x$-Achse abgetragen.

Die Polarkoordinaten lassen sich einfach in die kartesische umrechnen. Es gilt:

$x = r(\varphi) \cos (\varphi)$

$y =  r(\varphi) \sin (\varphi)$

Berechnen lässt sich der Betrag des Strahls dann durch:

$r = \sqrt{x^2 + y^2}$      [Satz des Pythagoras]

Der Winkel kann berechnet werden durch:

$\tan (\varphi) = \frac{y}{x}$              (Winkelberechnungen Dreieck)

Beispiel

Gegeben sei der Punkt (3,4) auf einem Kreis. Wie sieht der Radius $r$ und der dazugehörige Winkel $\varphi$ aus?

Radius:

$r = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$

Winkel:

$\tan (\varphi) = \frac{y}{x}$

$ \varphi = \tan^{-1} \frac{4}{3} = 53,13°$.

Polarkoordinatendarstellung Beispiel
Bild von Autor Jan Morthorst

Autor: Jan Morthorst

Dieses Dokument Polarkoordinatendarstellung ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen.

Jan Morthorst verfügt über langjährige Erfahrung auf diesem Themengebiet.
Vorstellung des Online-Kurses Höhere Mathematik 2: Analysis und Gewöhnliche DifferentialgleichungenHöhere Mathematik 2: Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen
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Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen

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  • Kurs: Höhere Mathematik 2
    • Einleitung zu Kurs: Höhere Mathematik 2
  • Darstellungsarten ebener Kurven
    • Einleitung zu Darstellungsarten ebener Kurven
    • Implizite- und explizite Darstellung
    • Polarkoordinatendarstellung
    • Parameterdarstellung
  • Kurveneigenschaften im ebenen Raum
    • Tangentenvektor
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    • Krümmung
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  • Kurveneigenschaften im mehrdimensionalen Raum
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    • Tangentenvektor im Raum
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