ZU DEN KURSEN!

Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra - abc- und pq-Formel sowie Diskriminante

Kursangebot | Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra | abc- und pq-Formel sowie Diskriminante

Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra

abc- und pq-Formel sowie Diskriminante

Die pq-Formel ist ein wichtiges Instrument zur Lösung quadratischer Gleichungen, also dem Auffinden von Nullstellen eines Polynoms.

Die abc-Formel

Die Allgemeine Form der quadratischen Gleichung lautet:

Merke

Hier klicken zum Ausklappen

allgemeine Form der quadratischen Gleichung: $ax^2 + bx + c = 0$

mit:

$a \neq 0$
$ax^2$ = quadratisches Glied
$bx$ = lineares Glied
$c$ = konstantes Glied (oder Absolutglied)

Ist $b = 0$, dann sprechen wir von einer reinquadratischen Gleichung.


Die Lösungen dieser Gleichung berechnen wir mit der sogenannten abc-Formel. Diese Formel wird in Teilen des deutschsprachigen Raumes auch als Mitternachtsformel bezeichnet.

Merke

Hier klicken zum Ausklappen

abc-Formel: $x_{1/2} = \frac{-b\; \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

 

Die pq-Formel

 Wir sprechen von der Normalform der quadratischen Gleichung, wenn in der allgemeinen quadratischen Gleichung $a = 0$. Dies erreichen wir, indem wir die Glieder der Gleichung durch $a \neq 0$ dividieren. Definieren wir $p = \frac{b}{a}$ und $q = \frac{c}{a}$, so erhalten wir die Normalform der quadratischen Gleichung.

Merke

Hier klicken zum Ausklappen

Normalform der quadratischen Gleichung: $x^2 + px + q = 0$

Die Lösungen dieser Gleichung berechnen wir mit der sogenannten pq-Formel. Wir definieren wie oben $p$ und $q$ mit $a = 1$ und setzen diese in die abc-Formel ein:

$x_{1/2} = \frac{-b\; \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
$x_{1/2} = \frac{-p\; \pm \sqrt{p^2 - 4aq}}{2 \cdot 1}$
$x_{1/2} = \frac{1}{2} \cdot p \pm \frac{1}{2} \, \sqrt{b^2 - 4ac}$
$x_{1/2} = \frac{-p}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{4} \cdot p^2 - \frac{1}{4} \cdot 4 \cdot q}$

Nach den letzten Umformungen erhalten wir die pq-Formel.

Merke

Hier klicken zum Ausklappen

pq-Formel: $x_{1/2} = - \frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2 - q}$

 

Anwendungsbeispiel zur pq-Formel

Beispiel

Hier klicken zum AusklappenGegeben sei die quadratische Gleichung $ 4x^2 + 16x + 8$. Bestimme bitte die Nullstellen!

Zuerst überführen wir die Gleichung in die Normalform:

$4x^2 + 16x + 8 = 0 \;\; |:4$

$x^2 + 4x + 2 = 0$

In dieser Gleichung ist $p= 4$ und $q= 2$. Mit diesen Werten lässt sich die pq-Formel lösen und damit die Nullstellen bestimmen. Wegen des $\pm$-Zeichens in der Lösungsformel muss die Rechnung zwei mal durchgeführt werden:

$x_1 = - \frac {4}{2} + \sqrt{(\frac{4}{2})^2 -2} = - 2 + 1,414 = -0,5857 \;\;\;$ (gerundet)

$x_2 = - \frac {4}{2} - \sqrt{(\frac{4}{2})^2 -2} = - 2 - 1,414 = -3,4142\;\;\;$ (gerundet)

Diskriminante und komplexe Zahlen

Der Term unter der Wurzel in der abc- oder pq-Formel hat im Bereich der komplexen Zahlen stets eine Lösung. Das heißt, wenn wir komplexe Zahlen als Lösungen zulassen, hat jede quadratische Gleichung genau zwei Lösungen, auch wenn sie in bestimmten Fällen den gleichen Wert haben. Diese Lösungen werden Wurzeln der Gleichung genannt.

Im Bereich der reellen Zahlen hat eine quadratische Gleichung null bis zwei Lösungen. Die Anzahl der reellen Nullstellen einer quadratischen Gleichung können wir mittels der sogenannten Diskriminante bestimmen.

Merke

Hier klicken zum Ausklappen

allgemeine Form der Diskriminante: $D = b^2 - 4 ac$

Betrachten wir den Term auf der rechten Seite, so fällt uns auf, dass dieser dem Ausdruck unter der Wurzel in der abc-Formel entspricht. $\; \Longrightarrow x_{1/2} = \frac{-b \, \pm \, \sqrt{D}}{2a}$

Die Diskriminante der pq-Formel erhalten wir, wenn wir wie schon oben durchgeführt $a$, $b$ und $c$ durch $p$ und $q$ ersetzen. In der normierten quadratischen Gleichung ist $a = 1$. Demnach folgt:

$p = \frac{b}{a} \;\; \longrightarrow \;\; p = b \;\;\;$ und $\;\;\; q = \frac{c}{a} \;\; \longrightarrow \;\; q = c$.

Setzen wir nun die Variablen in die allgemeine Form der Diskriminante ein, so erhalten wir die normierte Form der Diskriminante.

Merke

Hier klicken zum Ausklappen

normierte Form der Diskriminante: $D = p^2 - 4 q$

Hinsichtlich der Diskriminante können wir drei Fälle unterscheiden:

  1. $D < 0$: Die quadratische Gleichung hat keine reelle Nullstellen. Das heißt, dass in der grafischen Darstellung kein Schnittpunkt der Parabel der Gleichung mit der x-Achse existiert. Im Zahlenraum der komplexen Zahlen existieren hingegen zwei Lösungen für die Gleichung, welche konjugiert zueinander sind. Konjugierte Lösungen besitzen den gleichen Realteil. Ihr Imaginärteil unterscheidet sich nur das Vorzeichen.
  2. $D = 0$: Die quadratische Gleichung hat genau eine (doppelte) relle Lösung. Die Parabel der Gleichung berührt die x-Achse nur an einem Punkt, an ihrem Scheitelpunkt.
  3. $D > 0$: Die quadratische Gleichung hat zwei relle Nullstellen. In der grafischen Darstellung hat die Parabel der Gleichung zwei Schnittpunkte mit der x-Achse.

 

Bitte Beschreibung eingeben
Diskriminante



Anwendungsbeispiel

Beispiel

Hier klicken zum Ausklappen

Gegeben sei die reinquadratische Gleichung $x^2 + 1$. Bestimme bitte die Nullstellen!

Auf den ersten Blick sehen wir, dass dieses Gleichung keine reellen Nullstellen besitzt, denn für jede Zahl $x$ ergibt sich stets ein Wert $\neq 0$. In $\mathbb{C}$ hingegen hat diese Gleichung zwei Lösungen. Trotzdem kontrollieren wir unsere Vermutung mittels der Diskriminante, welche wir aufgrund $a = 1$ in der Normalform bestimmen:

Mit $p = 0$ und $q = 1$ folgt für $D = p^2 - 4 q \;\;\; \longrightarrow \;\;\; D = 0^2 - 4 \cdot 1 = -4 < 0$

$\Longrightarrow$ Die quadratische Gleichung besitzt keine reellen, sondern nur zwei komplexe Nullstellen.

Zur Berechnung der Nullstellen nutzen wir wie im obigen Beispiel die pq-Formel:

$x_{1/2} = - \frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2 - q}$

$x_{1/2} = - \frac{0}{2} \pm \sqrt{(\frac{0}{2})^2 - 1}$

$x_{1/2} = \pm \sqrt{-1}$

 

Mit $i^2 = -1$ ergeben sich folgenden Lösungen:

$x_1 = + \sqrt{-1} = +i \;\;\;\;\;\; x_2 = - \sqrt{-1} = -i$

Hinweis

Hier klicken zum Ausklappen

Zusatzinformation:

Die quadratische Gleichung lässt sich mit diesen beiden Lösungen in Linearfaktoren zerlegen:

$x^2 + 1 = 0 = (x - i)(x + i)$