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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra - abc- Formel (Mitternachtsformel) und pq-Formel

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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra

abc- Formel (Mitternachtsformel) und pq-Formel

Die abc- und die pq-Formel sind wichtige Instrumente zur Lösung quadratischer Gleichungen, also dem Auffinden von Nullstellen eines Polynoms.

Die abc-Formel

Die Allgemeine Form der quadratischen Gleichung lautet:

Methode

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allgemeine Form der quadratischen Gleichung: $ax^2 + bx + c = 0$

mit:

$a \neq 0$
$ax^2$ = quadratisches Glied
$bx$ = lineares Glied
$c$ = konstantes Glied (oder Absolutglied)

Ist $b = 0$, dann sprechen wir von einer reinquadratischen Gleichung.


Die Lösungen dieser Gleichung berechnen wir mit der sogenannten abc-Formel. Diese Formel wird in Teilen des deutschsprachigen Raumes auch als Mitternachtsformel bezeichnet.

Methode

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abc-Formel: $x_{1,2} = \frac{-b\; \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Beispiel: abc-Formel / Mitternachtsformel

Beispiel

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Gegeben sei die Funktion $f(x) =  4x^2 - 2x - 28 $. Berechne die Nullstellen der Funktion mit der abc-Formel.

Wir wenden dazu die obige Gleichung an:

$x_{1,2} = \frac{-b\; \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$


Hier gilt: 

$a = 4$

$b = -2$

$c = -28$


Einsetzen:

$x_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-28)}}{2 \cdot 4}$

$x_1 = \frac{2 + \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-28)}}{2 \cdot 4} = 2,91$

$x_2 = \frac{2 - \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-28)}}{2 \cdot 4} = -2,41$

Mitternachtsformel, quadratische Funktion, Nullstellen
Nullstellen der Funktion

 

Die pq-Formel

Wir sprechen von der Normalform der quadratischen Gleichung, wenn in der allgemeinen quadratischen Gleichung $a = 1$ gegeben ist. Dies erreichen wir, indem wir die Glieder der Gleichung durch $a \neq 0$ dividieren. Definieren wir $p = \frac{b}{a}$ und $q = \frac{c}{a}$, so erhalten wir die Normalform der quadratischen Gleichung.

Methode

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Normalform der quadratischen Gleichung: $x^2 + px + q = 0$

Die Lösungen dieser Gleichung berechnen wir mit der sogenannten pq-Formel. Wir definieren wie oben $p$ und $q$ mit $a = 1$ und setzen diese in die abc-Formel ein:

$x_{1,2} = \frac{-b\; \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
$x_{1,2} = \frac{-p\; \pm \sqrt{p^2 - 4aq}}{2 \cdot 1}$
$x_{1,2} = \frac{1}{2} \cdot p \pm \frac{1}{2} \, \sqrt{b^2 - 4ac}$
$x_{1,2} = \frac{-p}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{4} \cdot p^2 - \frac{1}{4} \cdot 4 \cdot q}$

Nach den letzten Umformungen erhalten wir die pq-Formel.

Methode

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pq-Formel: $x_{1,2} = - \frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2 - q}$

Merke

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 Bei der pq-Formel muss also zunächst die gesamte Gleichung durch $a$ dividiert werden, sofern $a \neq 1$ ist. 

Beispiel: pq-Formel

Beispiel

Hier klicken zum AusklappenGegeben sei die quadratische Gleichung $f(x) = 4x^2 + 16x + 8$. Bestimme bitte die Nullstellen!

Zuerst überführen wir die Gleichung in die Normalform:

$4x^2 + 16x + 8 = 0 \;\; |:4$

$x^2 + 4x + 2 = 0$

In dieser Gleichung ist $p= 4$ und $q= 2$. Mit diesen Werten lässt sich die pq-Formel lösen und damit die Nullstellen bestimmen. Wegen des $\pm$-Zeichens in der Lösungsformel muss die Rechnung zwei mal durchgeführt werden:

$x_1 = - \frac {4}{2} + \sqrt{(\frac{4}{2})^2 -2} = - 2 + 1,414 = -0,59\;\;\;$ (gerundet)

$x_2 = - \frac {4}{2} - \sqrt{(\frac{4}{2})^2 -2} = - 2 - 1,414 = -3,41\;\;\;$ (gerundet)

pq-Formel, Nullstellen, quadratische Funktion
Nullstellen der quadratischen Funktion

 

Diskriminante und komplexe Zahlen

Der Term unter der Wurzel in der abc- oder pq-Formel hat im Bereich der komplexen Zahlen stets eine Lösung. Das heißt, wenn wir komplexe Zahlen als Lösungen zulassen, hat jede quadratische Gleichung genau zwei Lösungen, auch wenn sie in bestimmten Fällen den gleichen Wert haben. Diese Lösungen werden Wurzeln der Gleichung genannt.

Im Bereich der reellen Zahlen hat eine quadratische Gleichung null bis zwei Lösungen. Die Anzahl der reellen Nullstellen einer quadratischen Gleichung können wir mittels der sogenannten Diskriminante bestimmen.

Methode

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allgemeine Form der Diskriminante: $D = b^2 - 4 ac$

Betrachten wir den Term auf der rechten Seite, so fällt uns auf, dass dieser dem Ausdruck unter der Wurzel in der abc-Formel entspricht. $\; \Longrightarrow x_{1,2} = \frac{-b \, \pm \, \sqrt{D}}{2a}$

Die Diskriminante der pq-Formel erhalten wir, wenn wir wie schon oben durchgeführt $a$, $b$ und $c$ durch $p$ und $q$ ersetzen. In der normierten quadratischen Gleichung ist $a = 1$. Demnach folgt:

$p = \frac{b}{a} \;\; \longrightarrow \;\; p = b \;\;\;$ und $\;\;\; q = \frac{c}{a} \;\; \longrightarrow \;\; q = c$.

Setzen wir nun die Variablen in die allgemeine Form der Diskriminante ein, so erhalten wir die normierte Form der Diskriminante.

Methode

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normierte Form der Diskriminante: $D = p^2 - 4 q$


Hinsichtlich der Diskriminante können wir drei Fälle unterscheiden:

  1. $D < 0$: Die quadratische Gleichung hat keine reelle Nullstellen. Das heißt, dass in der grafischen Darstellung kein Schnittpunkt der Parabel der Gleichung mit der x-Achse existiert. Im Zahlenraum der komplexen Zahlen existieren hingegen zwei Lösungen für die Gleichung, welche konjugiert zueinander sind. Konjugierte Lösungen besitzen den gleichen Realteil. Ihr Imaginärteil unterscheidet sich nur das Vorzeichen.

  2. $D = 0$: Die quadratische Gleichung hat genau eine (doppelte) relle Lösung. Die Parabel der Gleichung berührt die x-Achse nur an einem Punkt, an ihrem Scheitelpunkt.

  3. $D > 0$: Die quadratische Gleichung hat zwei relle Nullstellen. In der grafischen Darstellung hat die Parabel der Gleichung zwei Schnittpunkte mit der x-Achse.

 

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Diskriminante



Beispiel: Diskriminante

Beispiel

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Gegeben sei die reinquadratische Gleichung $x^2 + 1$. Bestimme bitte die Nullstellen!

Auf den ersten Blick sehen wir, dass dieses Gleichung keine reellen Nullstellen besitzt, denn für jede Zahl $x$ ergibt sich stets ein Wert $\neq 0$. In $\mathbb{C}$ hingegen hat diese Gleichung zwei Lösungen. Trotzdem kontrollieren wir unsere Vermutung mittels der Diskriminante, welche wir aufgrund $a = 1$ in der Normalform bestimmen:

Mit $p = 0$ und $q = 1$ folgt für $D = p^2 - 4 q \;\;\; \longrightarrow \;\;\; D = 0^2 - 4 \cdot 1 = -4 < 0$

$\Longrightarrow$ Die quadratische Gleichung besitzt keine reellen, sondern nur zwei komplexe Nullstellen.

Zur Berechnung der Nullstellen nutzen wir wie im obigen Beispiel die pq-Formel:

$x_{1,2} = - \frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2 - q}$

$x_{1,2} = - \frac{0}{2} \pm \sqrt{(\frac{0}{2})^2 - 1}$

$x_{1,2} = \pm \sqrt{-1}$

 

Mit $i^2 = -1$ ergeben sich folgenden Lösungen:

$x_1 = + \sqrt{-1} = +i \;\;\;\;\;\; x_2 = - \sqrt{-1} = -i$

Hinweis

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Zusatzinformation:

Die quadratische Gleichung lässt sich mit diesen beiden Lösungen in Linearfaktoren zerlegen:

$x^2 + 1 = 0 = (x - i)(x + i)$