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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra - pq-Formel

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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra

pq-Formel

Die pq-Formel ist ein wichtiges Instrument zur Lösung quadratische Gleichungen, also dem Finden von Nullstellen eines Polynoms.

Grundform, allgemeine Form der pq-Formel

Die Allgemeine Form der pq-Formel ist wie folgt:

$ x^2 + px + q = 0$

Die Lösung der pq-Formel ist entsprechend:

Methode

$ x_{1/2} = - \frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2 - q} $

Alternativ: 

$\ ax^2 + bx + c = 0$

Methode

$ x_{1/2} = \frac{-b\; \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Anwendungsbeispiel zur pq-Formel

Beispiel

Gegeben sei folgende quadratische Gleichung $ 4x^2 + 16x + 8$. Bestimmen Sie die Nullstellen.

Zuerst ist die Gleichung in die allgemeine Form zu überführen. 

$4x^2 + 16x + 8 = 0 | :4 $

$x^2 + 4x + 2 = 0 $

In dieser Form ist $p= 4$ und $q= 2$. Mit diesen Werten lässt sich die pq-Formel lösen und die Nullstellen bestimmen. Die Rechnung muss zwei mal durchgeführt werden, wegen $\pm$.

Also:

$x_1 = - \frac {4}{2} + \sqrt{(\frac{4}{2})^2 -2} = - 2 + 1,414 = -0,5857 $ [gerundet]

$x_2 = - \frac {4}{2} - \sqrt{(\frac{4}{2})^2 -2} = - 2 - 1,414 = -3,4142 $ [gerundet]

Komplexe Zahlen

Die Gleichung  $x^2 + 1 = 0$  hat in $\mathbb{R}$  keine Lösung. Denn jede Zahl für $x$ ergibt immer  $\neq 0$. In $\mathbb{C}$  hingegen hat diese Gleichung eine Lösung. Nämlich:

$x = \pm \sqrt{-1} = \pm  i$

und es gilt

$x^2 + 1 = 0 = (x - i)(x + i)$.

Allgemein

Die Gleichung  $x^2 + 1 = 0$  hat nach der Formel:  $ x_{1/2} = \frac{-b\; \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$   also 2 Lösungen:

$x_1 = \frac{-b}{2a} + \frac{1}{2a} \cdot \sqrt{b^2 - 4ac}$   und   $x_2 = \frac{-b}{2a} - \frac{1}{2a} \cdot \sqrt{b^2 - 4ac}$

Dabei gilt für die Wurzel   $d = \sqrt{b^2 - 4ac}$:

$\begin{cases} d = \sqrt{b^2 - 4ac} & \text{für } d > 0 \\ d = i \cdot \sqrt{-b^2 + 4ac}  & \text{für } d \le 0 \end{cases}$

Lösung

Einsetzen von  $x^2 + 1 = 0$  in die 2 Lösungsgleichungen ergibt:

(1) $x_1 = \frac{0}{2\cdot1} + \frac{1}{2\cdot1} \cdot \sqrt{0^2 - 4\cdot1\cdot1} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{-4}$

$\rightarrow  i \cdot \frac{1}{2} \cdot \sqrt{4} = i$

(2) $x_2 = \frac{0}{2\cdot1} - \frac{1}{2\cdot1} \cdot \sqrt{0^2 - 4\cdot1\cdot1} = - \frac{1}{2} \cdot \sqrt{-4}$

$\rightarrow  - i \cdot \frac{1}{2} \cdot \sqrt{4} = -i$