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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra - Polarkoordinaten

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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra

Polarkoordinaten

Durch den Abstand  $r$  (Radius) lässt sich die Lage eines Punktes ermitteln. Dies ist möglich, wenn der Abstand  $r > 0$. Dann nämlich existiert ein Winkel  $\varphi$, welcher sich mit der positiven x-Achse (Polarwinkel) kennzeichen lässt:

Polarkoordinaten
Polarkoordinaten

Umformung von kartesische in polare Koordinaten

Kartesische Koordinaten:  $x$  und $y$.

Polarkoordinaten: $r$  und $\varphi$.

(1)  $z = x + iy = r (cos \varphi + i \cdot sin \varphi)$

(2)  $x = r \cdot cos \varphi$    

(3)  $y = r \cdot sin \varphi$ 

(4)  $r = |z| = \sqrt{x^2 + y^2}$

(5) $ \tan \varphi = \frac{y}{x}$

Berechnung des Winkels 

Winkel werden meist in Bogenmaß angegeben. Das bekannte Gradmaß  $\hat{\varphi}$ (Einheit: Grad) und das Bogenmaß  $\varphi$  (Einheit: Radiant) haben folgenden Zusammenhang:

$\frac{\hat{\varphi}}{360°} = \frac{\varphi}{2\pi} \; \rightarrow \; \varphi = \frac{\hat{\varphi}}{360°} \cdot 2\pi$


Die Berechnung des Winkels (sog. Argument von $z$) hängt vom Quadrant ab, in dem $z$ liegt:

Quadranten
Quadranten im Einheitskreis
I.Quadrant

1. Fall: $z$ liegt im I. Quadranten $0 \le \varphi \le \frac{\pi}{2}$, wenn $x > 0$ und $y \ge 0$:

$\hat{\varphi} = \arctan (\frac{y}{x})$

$\varphi = \frac{\hat{\varphi}}{360} \cdot 2\pi$

I.Quadrant
I.Quadrant
II.Quadrant

2. Fall: $z$ liegt im II. Quadranten $ \frac{\pi}{2} \le \varphi \le \pi$, wenn $x < 0$ und $y \ge 0$:

$\alpha = \arctan (\frac{y}{x})$

$\rightarrow \ \hat{\varphi} = 180° - |\alpha|$

$\varphi = \frac{\hat{\varphi}}{360} \cdot 2\pi$

II. Quadrant
II. Quadrant

Es wird als erstes der Winkel $\alpha$ berechnet, welcher einen negativen Winkel ergibt, da $x < 0$. Der Betrag von $\alpha$ muss von den gesamten 180° abgezogen werden, damit man den Winkel $\hat{\varphi}$ erhält.

III.Quadrant

3. Fall: $z$ liegt im III. Quadranten $\pi \le \varphi \le \frac{3\pi}{2}$, wenn $x < 0$ und $y < 0$:

$\alpha = \arctan (\frac{y}{x}) $

$\hat{\varphi} = 180° +  \alpha$

$\varphi = \frac{\hat{\varphi}}{360} \cdot 2\pi$

III.Quadrant
III.Quadrant

Es wird als erstes der Winkel $\alpha$ berechnet, welcher einen positiven Winkel ergibt, da $x < 0$ und $y < 0$. Dieser muss zu den gesamten 180° hinzugerechnet werden, damit man den Winkel $\hat{\varphi}$ erhält.

IV. Quadrant

4. Fall: $z$b liegt im IV. Quadranten $\frac{3\pi}{2} \le \varphi \le 2\pi$, wenn $x > 0$ und $y < 0$:

$\hat{\varphi} = 360° - |\alpha|$

$\varphi = \frac{\hat{\varphi}}{360} \cdot 2\pi$

IV. Quadrant
IV. Quadrant

Es wird als erstes der Winkel $\alpha$ berechnet, welcher einen negativen Winkel ergibt, da $y < 0$.Der Betrag von $\alpha$ muss von den gesamten 360° abgezogen werden, damit man den Winkel $\hat{\varphi}$ erhält.

Anwendung der Polarkoordinaten

Beispiel

Gegeben seien die kartesischen Koordinaten  $x = -4$  und  $y = 3$  der komplexen Zahl  $z = -4 + i3$. Wie sehen die Polarkoordinaten aus?

(4)  $r = \sqrt{(-4)^2 + 3^2} = \sqrt{25} = 5$

Da $x < 0$ und $y > 0$ befindet sich $z$ im II. Quadranten:

$\alpha = \arctan (\frac{3}{-4}) \approx -36,87$

$\hat{\varphi} = 180° - |36,87| = 143,13$   (Einheit: Grad)

$\varphi = \frac{143,13°}{360°} \cdot 2\pi = 2,4981$    (Einheit: Radiant).

Beispiel

Gegeben sei die komplexe Zahl  $z = 4 - i4$. Wie sehen die Polarkoordinaten aus?

(4)  $r = \sqrt{(4)^2 + (-4)^2} = \sqrt{32}$

Da $x > 0$ und $y < 0$ befindet sich $z$ im IV. Quadranten:

$\alpha = \arctan (\frac{-4}{4}) = -45°$

$\hat{\varphi} = 360 - |45°| = 315°$   (Einheit: Grad)

$\varphi = \frac{315°}{360°} \cdot 2\pi = 5,4978 $   (Einheit: Radiant).

Eulersche Darstellung

$z = re^{i\varphi}$

mit   $e^{i\varphi} = cos \varphi + i \cdot sin \varphi$

Beispiel

Gegeben sei die komplexe Zahl  $z = 3 - i4$.  Wie sieht die Eulersche Darstellung aus?

$r = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = 5$

Da $x > 0$ und $y < 0$ befindet sich $z$ im IV. Quadranten:

$\alpha = \arctan (\frac{-4}{3}) \approx -53,13$

$\hat{\varphi} = 360° - |53,13| = 306,87° $

$\varphi = \frac{306,87°}{360°}\cdot 2\pi \approx 5,356$

$z = 5e^{i  5,356}$