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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra - Eigenvektoren

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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra

Eigenvektoren

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Der zu dem Eigenwert $\lambda$ gehörende Eigenvektor  $\vec{x}$ ist die Lösung der Gleichung:

$(A - \lambda E)\vec{x} = 0$

wobei gilt: $\vec{x} \neq \vec{0}$

Beispiel

Gegeben sei die Matrix aus dem vorherigen Beispiel $A = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ -4 & 5 \end{pmatrix}$  mit den Eigenwerten $\lambda_1 = 5, \lambda_2 = 3$.

Berechnung des 1. Eigenvektors:

$\lambda_1 = 5$:

$(A - 5 E)\vec{x} = 0$:

$=  \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ -4 & 5 \end{pmatrix} - 5 \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

$= \begin{pmatrix} 3 - 5 & 0 \\ -4 & 5 - 5 \end{pmatrix}$

Ergebnis mit dem $\vec{x}$  multiplizieren und gleich Null setzen:

$= \begin{pmatrix} -2 & 0 \\ -4 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = 0$

$= \begin{pmatrix} -2x_1 + 0x_2 \\ -4x_1 + 0x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

D.h. es ist folgendes Gleichungssystem zu lösen:

$-2x_1 + 0x_2 = 0$   $\rightarrow x_1 =0$

$-4x_1 + 0x_2 = 0$   $\rightarrow x_1 =0$

Es gilt schonmal $x_1 = 0$. Da $\vec{x} \neq \vec{0}$, muss $x_2$ einen Wert ungleich Null annehmen. Wir setzen $x_2 = 1$. So ist z.B. der Vektor  $\vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$  eine Lösung des Problems, denn:

$\begin{pmatrix} -2 & 0 \\ -4 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \; $ ergibt $ \; \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} $

Berechnung des 2. Eigenvektors:

$\lambda_2 = 3$

$(A - 3 E)\vec{x} = 0$:

$=  \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ -4 & 5 \end{pmatrix} - 3 \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

$= \begin{pmatrix} 3 - 3 & 0 \\ -4 & 5 - 3 \end{pmatrix}$

Ergebnis mit dem $\vec{x}$  multiplizieren und gleich Null setzen:

$= \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ -4 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = 0$

$= \begin{pmatrix} 0x_1 + 0x_2 \\ -4x_1 + 2x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

D.h. es ist folgendes Gleichungssystem zu lösen:

$0x_1 + 0x_2 = 0$  

$-4x_1 + 2x_2 = 0$  $\rightarrow x_1 = \frac{1}{2} x_2$

Da hier wieder ein Vektor $\neq 0$ resultieren muss, kann keines der beiden Werte Null werden. Denn für $x_1 = 0$ müsste $x_2$ ebenfalls gleich null sein, damit der obige Zusammenhang gegeben ist. Also setzen wir $x_1 = 1$. Das bedeutet, $x_2$ muss den Wert 2 annehmen. 

Da $\vec{x} \neq \vec{0}$, ist z.B. der Vektor $x = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$  ist eine Lösung des Problems, denn:

$\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ -4 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \;$ ergibt $\; \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

Video: Eigenvektoren