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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra - Eigenwerte

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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra

Eigenwerte

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Das Eigenwertproblem

$A$ sei eine quadratische Matrix vom Typ $(m,m)$. 

Das Eigenwertproblem sucht eine Zahl $\lambda$ und einen dazugehörigen Vektor $\vec{x}$ damit die Matrizengleichung

$Ax = \lambda x$

erfüllt ist.

Die Zahl $\lambda$ wird als der Eigenwert bezeichnet, der Faktor $x \neq 0$ als der Eigenvektor.

Hinweis

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Im nächsten Kurstext behandeln wir die Berechnung der Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten.

Diese Gleichung lässt sich umformen in:

$Ax - \lambda x = 0 \; \;$

Multiplizieren wir die Einheitsmatrix mit dem Eigenvektor, so ergibt dieser sich selbst als Ergebnis. Wir können deshalb $x = Ex$ setzen und formen die Gleichung um:

$\;\;\;\;\; A Ex - \lambda Ex = 0$

$\longrightarrow (A - \lambda E)x = 0$

Eigenwerte

Die Eigenwerte der Matrix $A$ sind die Lösungen der Gleichung $(A - \lambda E)x = 0$, welche ein lineares Gleichungssystem darstellt.

Mit der Voraussetzung dass $x \neq 0$, ist dieses LGS genau dann lösbar, wenn gilt:

$det(A − \lambda E) = 0$

Die Determinante $det(A − \lambda E)$ stellt ein Polynom $n$-ten Grades mit der Variable $\lambda$ dar:

$det(A − \lambda E) = \begin{vmatrix} a_{11} - \lambda & a_{12} & ... & a_{1m} \\ a_{21} & a_{22} - \lambda & ... & a_{2m} \\ . & . & . & . \\ . & . & . & . \\ . & . & . & . \\ a_{m1} & a_{m2} & ... &  a_{mm} - \lambda \end{vmatrix} = P_n(\lambda)$

Ist dieses Polynom normiert, so nennt man es das charakteristische Polynom $\chi_n(\lambda)$ der Matrix $a$

Merke

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Die Nullstellen des charakteristischen Polynoms $\chi_n(\lambda)$ sind die Eigenwerte $\lambda$ der Matrix $A$.

Ein Polynom $n$-ten Grades hat höchstens $n$ Nullstellen. Somit existieren höchstens $n$ Eigenwerte der Matrix A.

Anwendungsbeispiel

Beispiel

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Gegeben sei die folgende Matrix: $A = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ -4 & 5 \end{pmatrix}$

1. Schritt: Berechnung des charakteristischen Polynoms und Nullsetzen

$det(A − \lambda E) =  \begin{vmatrix} 3 - \lambda & 0 \\ -4 & 5 - \lambda \end{vmatrix}$

$det(A − \lambda E) = (3 - \lambda) \cdot (5 - \lambda) - 0 \cdot -4$

$det(A − \lambda E) = \lambda^2 - 8\lambda + 15 = 0$

2. Schritt: Berechnung der Nullstellen des charakteristischen Polynoms durch Anwendung der p/q-Formel

$\lambda_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2 - q}$

$\lambda_{1,2} = \frac{8}{2} \pm \sqrt{(-\frac{8}{2})^2 - 15}$

$\lambda_1 = 4 + \sqrt{1} = 5$

$\lambda_2 = 4 - \sqrt{1} = 3$

$\lambda_1 = 5$ und $\lambda_2 = 3$  sind die Eigenwerte der Matrix $A$.

Video: Eigenwerte