Kursangebot | Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra | Rang einer Matrix

Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra

Rang einer Matrix

Eine Matrix  $A = (aij)$  mit  $i, j = 0, ... ,n$  besteht aus  $m$-Zeilenvektoren  $\vec{a_1}, ... , \vec{a_m}$  und aus  $n$-Spaltenvektoren  $\vec{b_1}, ..., \vec{b_n}$:

Die Matrix  $\ A = \begin{pmatrix} a_{11} & ... & a_{1n} \\ ... & ... & ... \\ a_{m1} & ... & a_{mn} \end{pmatrix}$  besteht unter anderem aus dem

Zeilenvektor

$\vec{a_i} = \begin{pmatrix} a_{11} & ... & a_{1n} \end{pmatrix}$

und dem Spaltenvektor

$\vec{b_j} = \begin{pmatrix} a_{11} \\ ... \\ a_{m1} \end{pmatrix}$

Methode

Der Spaltenrang (Zeilenrang) einer Matrix $A$  ist die maximale Anzahl linear unabhängiger Spaltenvektoren (Zeilenvektoren) von  $A$.

Man schreibt auch:  $rg A$.

$A$ und $A^T$  haben den gleichen Rang:  $rg A = rg A^T$

Um den Rang einer Matrix zu bestimmen, müssen die einzelnen Spaltenvektoren (analog: Zeilenvektoren) auf lineare Unabhängigkeit geprüft werden. Ist dies bei der Ausgangsmatrix nicht möglich, kann diese mithilfe elementarer Umformungen (Gauß Eliminationsverfahren) in eine Zeilenstufenform gebracht werden und dann die Spalten- bzw. Zeilenvektoren auf lineare Unabhängigkeit geprüft werden.

Merke

Elementare Umformungen verändern den Rang der Matrix nicht.

Zeilenstufenform

In der folgenden Grafik ist eine Matrix in Zeilenstufenform abgebildet:

Rang einer Matrix
Rang einer Matrix

Die Einträge oberhalb der Stufen können beliebige Einträge sein. Die Einträge auf den Stufen sind Zahlen  $\neq 0$  und die Einträge unterhalb der Stufen bestehen nur aus Nullen.

Bestimmung der Ränge von Matrizen

Gegeben sei die Matrix:

$A = \begin{pmatrix} \underline{-5} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \underline{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \underline{3} &\underline{6} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

Da die Matrix bereits Zeilenstufenform besitzt, kann die lineare Unabhängigkeit der Spaltenvektoren bzw. Zeilenvektoren geprüft werden und somit der Rang ermittelt werden.

Spaltenrang:

Es ist deutlich zu erkennen, dass die Spalte  $\begin{pmatrix} -5 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$  und   $\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$  

voneinenader unabhängig sind. D.h. es lässt sich keine der beiden Zeile aus der anderen kombinieren.

Ebenso sieht es mit  $\begin{pmatrix} -5 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$   und $\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}$  sowie  $\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$   und  $\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}$  aus.

Allerdings:  $\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}$  und  $\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix}$   sind nicht linear unabhängig voneinander, denn:

$ 2 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix}$  

Demnach gibt es 3 unabhängige Spaltenvektoren und damit ist der Rang:  $rgA = 3$.

Zeilenrang

Analog verfährt man mit dem Zeilenrang. Beim Zeilenrang sind alle 3 Zeilenvektoren (Nullvektor wird nicht berücksichtigt) voneinander unabhängig. Daraus folgt  $rg A = 3$.

Merke

Zeilenrang und Spaltenrang sind immer gleich!

Elementare Umformungen

Wie bereits im vorherigen Kapitel gezeigt, kann eine Matrix mittels elementarer Umformungen (Gauß Eliminationsverfahren) in eine einfachere Form gebracht werden. Der Rang der Matrix wird dabei nicht verändert. 

Beispiel

Gegeben sei die folgende Matrix:  $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 0\\ 4 & 2 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 2 \end{pmatrix}$.  Bestimme den Rang der Matrix!

Da diese Matrix keine Zeilenstufenform besitzt, muss sie mittels elementarer Umformungen in diese Form gebracht werden, um dann den Rang zu bestimmen.

Elementare Umformungen
Elementare Umformungen

Es ergibt sich nach den elementaren Umformungen folgende Matrix:

$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -4 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

Bestimmung des Spaltenrangs

Der Spaltenrang ist  $rg A = 3$,  denn  

$2 \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$.  Die restlichen Spaltenvektoren sind linear unabhängig voneinander.

Bestimmung des Zeilenrangs

Der Zeilenrang ist ebenfalls $rg A = 3$.  Alle Zeilenvektoren sind voneinander unabhängig.

Merke

Ergibt sich Zeilenrang $\neq$  Spaltenrang, dann muss (wenn Fehler bei der Umformung ausgeschlossen werden können) die Matrix weiter elementar umgeformt werden bis Zeilenrang = Spaltenrang.