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Kursangebot | Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra | Matrizen

Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra

Matrizen

Eine Matrix ist ein rechteckiges Zahlenschema, welche aus $m \times  n$ Zahlen (Elementen) besteht. Diese sind in $m$-Zeilen (Zeilenvektoren) und $n$-Spalten (Spaltenvektoren) angeordnet. Die allgemeine Form einer Matrix ist:

Allgemeine Matrix, Hauptdiagonale, Spalten, Zeilen
Allgemeine Matrixdarstellung

 


Es gibt unterschiedliche Erscheinungsformen einer Matrix, die wir uns im Nachfolgenden mal genauer anschauen wollen.

Einheitsmatrix 

Für die Einheitsmatrix gilt, dass die Elemente $a_{mn}$ auf der Diagonalen den Wert 1 annehmen, wobei alle übrigen Elemente den Wert Null annehmen.

$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

Die obige Matrix ist eine $3 \times 3$ Matrix. Alle Elemente auf der Hauptdiagonalen nehmen den Wert 1 an, alle übrigen Elemente sind Null.

Hinweis

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Es existiert für jede Größe einer Matrix eine zugehörige Einheitsmatrix!

Matrix (m-Spalten, n-Zeilen)

Es gibt Matrizen, bei denen die Zeilen- und Spaltenanzahl unterschiedlich ist, wie in den nachfolgenden beiden Beispielen dargestellt: 

$A = \begin{pmatrix} 2 & 7 \\ 1 & 3\\  2 & 4 \end{pmatrix}$

$A = \begin{pmatrix}  3 & -7 & 2 \end{pmatrix}$

Quadratische Matrix 

Eine quadratische Matrix ist - wie der Name bereits aussagt - eine Matrix, die eine quadratische Form aufweist. Hier ist die Anzahl der Zeilen und Spalten identisch.

$A = \begin{pmatrix} 1 & 8 \\ 3 & -2  \end{pmatrix}$

$A = \begin{pmatrix} 2 & 7 & 4 \\ 1 & 3 & 2 \\ 2 & 4 & 7 \end{pmatrix}$

$A = \begin{pmatrix} 2 & 7 & 4 & -2 \\ 1 & -4 & 2 & 5 \\ 1 & 6 & 7 & 9 \\ -7 & 4 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

Nullmatrix 

Von einer Nullmatrix ist die Rede, wenn alle Elemente innerhalb der Matrix den Wert Null annehmen.

$A = \begin{pmatrix}  0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

Transponierte Matrix

Vertauscht man in einer Matrix die Zeilen mit den entsprechenden Spalten, so entsteht eine transponierte Matrix $\ A^T$ (oder Schreibweise $A'$):

$A = (a_{ik})_{m,n} \longleftrightarrow A^T = (a_{ki})_{n,m}$

Hinweis

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In Worten: Beim transponieren wird die 1. Zeile mit der 1. Spalte, die 2. Zeile mit der 2. Spalte usw. getauscht.


Dazu betrachen wir das nachfolgende Beispiel:

Beispiel

Hier klicken zum AusklappenTransponiere folgende Matrix $ A = \begin{pmatrix} 7 & 4 & 3 & 5 \\ 1 & 0 & 7 & 6 \\ 4 & 2 & 9 & 8 \end{pmatrix} $!

$A_{3,4} = \begin{pmatrix} 7 & 4 & 3 & 5 \\ 1 & 0 & 7 & 6 \\ 4 & 2 & 9 & 8 \end{pmatrix} \longleftrightarrow  A^T = \begin{pmatrix} 7 & 1 & 4  \\ 4 & 0 & 2 \\ 3 & 7 & 9 \\ 5 & 6 & 8 \end{pmatrix}$

Die folgenden Regeln beim Transponieren einer Matrix müssen beachtet werden:

  • $\ (A^T)^T  = A $ 
  • $\ (A + B)^T = A^T + B^T $
  • $\ (sA)^T = s \cdot A^T \;\;\;$   ($s$ ist ein Skalar.)
  • $\ (AB)^T = B^T \cdot A^T $

Symmetrische Matrix 

Eine symmetrische Matrix ist eine quadratische Matrix (siehe oben), bei welcher die Einträge spiegelsymmetrisch bezüglich der Hauptdiagonalen sind. Eine symmetrische Matrix stimmt mit ihrer transponierten Matrix überein.

symmetrische Matrix, Matrix
Symmetrische Matrix