Kursangebot | Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra | Matrizen

Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra

Matrizen

Eine Matrix ist ein rechteckiges Zahlenschema, welche aus $m \ x \ n$ Zahlen (Elementen) besteht. Diese sind in $m$-Zeilen (Zeilenvektoren) und $n$-Spalten (Spaltenvektoren) angeordnet. Die allgemeine Form einer Matrix ist:


$\ A = \begin{pmatrix} a_{11} & .... & a_{1n} \\ .... & .... & .... \\ a_{m1} & .... & a_{mn} \end{pmatrix} = ( a_{ij}) \;\;\;$ mit $\;\;\; 1\ge i,j \ge m,n $

$\ a_{ij}$ ist ein Element der Matrix, dass in der $i$-ten Zeile und in der $j$-ten Spalte steht. Hierbei steht $i$ für den Zeilenindex und $j$ für den Spaltenindex, $m$ und $n$ jeweils für die Zeilen- und Spaltenzahl der Matrix $A$. 

Man unterscheidet des Weiteren Matrizen nach ihrer Erscheinungsform: 

Einheitsmatrix (bspw. 3 Zeilen, 3 Spalten)

$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

Es existiert für jede Größe einer Matrix eine Einheitsmatrix!

(3,2)- Matrix (3-Zeilen, 2 Spalten)

$A = \begin{pmatrix} 2 & 7 \\ 1 & 3\\  2 & 4 \end{pmatrix}$

(1,3)- Matrix (1-Zeile, 3 Spalten)

$A = \begin{pmatrix}  3 & -7 & 2 \end{pmatrix}$

Quadratische Matrix (Anzahl Zeilen = Anzahl Spalten)

$A = \begin{pmatrix} 1 & 8 \\ 3 & -2  \end{pmatrix}$

Symmetrische Matrix (Anzahl Zeilen (ungerade) = Anzahl Spalten (ungerade))

$A = \begin{pmatrix} 3 & 2 & -1 \\ 3 & 9 & 8 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}$

Nullmatrix (bspw. 2 Zeilen, 3 Spalten)

$A = \begin{pmatrix}  0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

Alle Elemente dieser Matrix sind Null.

Transponierte Matrix

Vertauscht man in einer Matrix die Zeilen mit den gleichstelligen Spalten, so entsteht eine transponierte Matrix $\ A^T$ (oder schreibweise A'):

$A = (a_{ik})_{m,n} \longleftrightarrow A^T = (a_{ki})_{n,m}$

Beispiel

Hier klicken zum AusklappenTransponiere bitte folgende Matrix $\ A_{3,4} = \begin{pmatrix} 7 & 4 & 3 & 5 \\ 1 & 0 & 7 & 6 \\ 4 & 2 & 9 & 8 \end{pmatrix} $!

$A_{3,4} = \begin{pmatrix} 7 & 4 & 3 & 5 \\ 1 & 0 & 7 & 6 \\ 4 & 2 & 9 & 8 \end{pmatrix} \longleftrightarrow  A^T = \begin{pmatrix} 7 & 1 & 4  \\ 4 & 0 & 2 \\ 3 & 7 & 9 \\ 5 & 6 & 8 \end{pmatrix}$

Regeln beim Transponieren einer Matrix

  • $\ (A^T)^T  = A $ 
  • $\ (A + B)^T = A^T + B^T $
  • $\ (sA)^T = s \cdot A^T \;\;\;$   ($s$ ist ein Skalar.)
  • $\ (AB)^T = B^T \cdot A^T $