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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra - Rang einer Matrix

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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra

Rang einer Matrix

Eine Matrix  $A = (aij)$  mit  $i, j = 0, ... ,n$  besteht aus  $m$-Zeilenvektoren  $\vec{a_1}, ... , \vec{a_m}$  und aus  $n$-Spaltenvektoren  $\vec{b_1}, ..., \vec{b_n}$:

Die Matrix  $\ A = \begin{pmatrix} a_{11} & ... & a_{1n} \\ ... & ... & ... \\ a_{m1} & ... & a_{mn} \end{pmatrix}$  besteht unter anderem aus dem

Zeilenvektor

$\vec{a_i} = \begin{pmatrix} a_{11} & ... & a_{1n} \end{pmatrix}$

und dem Spaltenvektor

$\vec{b_j} = \begin{pmatrix} a_{11} \\ ... \\ a_{m1} \end{pmatrix}$

Methode

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Der Zeilenrang einer Matrix $A$  ist die maximale Anzahl linear unabhängiger Zeilenvektoren von  $A$.

Man schreibt auch:  $rg A$.

Es ist ebenfalls möglich die Spalten der Vektoren als Zeilen zu betrachten. Dazu werden die Vektoren transponiert und in die Matrix eingetragen. Es entsteht die transponierte Matrix aus welcher dann der Zeilenrang abgelesen wird. 

$A$ und $A^T$  haben den gleichen Rang:  $rg A = rg A^T$

Um den Rang einer Matrix zu bestimmen, müssen die einzelnen Zeilenvektoren auf lineare Unabhängigkeit geprüft werden. Ist dies bei der Ausgangsmatrix nicht möglich, kann diese mithilfe elementarer Umformungen (Gauß Eliminationsverfahren) in eine Zeilenstufenform gebracht werden und dann die Zeilenvektoren auf lineare Unabhängigkeit geprüft werden.

Merke

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Elementare Umformungen verändern den Rang der Matrix nicht.

Zeilenstufenform

In der folgenden Grafik ist eine Matrix in Zeilenstufenform abgebildet:

Rang einer Matrix
Rang einer Matrix

Die Einträge oberhalb der Stufen können beliebige Einträge sein. Die Einträge auf den Stufen sind Zahlen  $\neq 0$  und die Einträge unterhalb der Stufen bestehen nur aus Nullen.

Bestimmung der Ränge von Matrizen

Gegeben sei die Matrix:

$A = \begin{pmatrix} \underline{-5} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \underline{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \underline{3} &\underline{6} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

Da die Matrix bereits Zeilenstufenform besitzt, kann die lineare Unabhängigkeit der Zeilenvektoren geprüft werden und somit der Rang ermittelt werden.

Innerhalb der obigen Matrix sind alle 3 Zeilenvektoren (Nullvektor wird nicht berücksichtigt) voneinander unabhängig. Daraus folgt  $rg A = 3$.

Elementare Umformungen

Wie bereits im vorherigen Kapitel gezeigt, kann eine Matrix mittels elementarer Umformungen (Gauß Eliminationsverfahren) in eine einfachere Form gebracht werden. Der Rang der Matrix wird dabei nicht verändert. 

Beispiel

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Gegeben sei die folgende Matrix:  $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 0\\ 4 & 2 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 2 \end{pmatrix}$.  Bestimme den Rang der Matrix!

Da diese Matrix keine Zeilenstufenform besitzt, muss sie mittels elementarer Umformungen in diese Form gebracht werden, um dann den Rang zu bestimmen.

Elementare Umformungen
Elementare Umformungen

Es ergibt sich nach den elementaren Umformungen folgende Matrix:

$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -4 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

 

Bestimmung des Zeilenrangs

Der Zeilenrang ist $rg A = 3$.  Die letzte Zeile wird gestrichen, da dort alle Elemente Null sind. Es verbleiben noch drei Zeilen die alle voneinander unabhängig sind.