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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra - Einführung in die Vektorrechnung

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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra

Einführung in die Vektorrechnung

Unter Vektoren versteht man Objekte mit einer vorgegebenen Länge und Richtung. Mit Hilfe von Vektoren kann man z.B. die Geschwindigkeit von Objekten oder die Strömungsrichtungen in einem Raum darstellen. Vektoren werden durch ihre Koordinaten bestimmt. Ein Vektor in einem 2-dimensionalen Raum $\mathbb{R}^2$ besitzt dabei zwei Koordinaten, ein Vektor in einem 3-dimensionalen Raum $\mathbb{R}^3$ drei Koordinaten und ein Vektor in einem n-dimensionalen $\mathbb{R}^n$ Raum $n$ Koordinaten. 

Vektor $\vec{a}$ in einem $n$-dimensionalen Raum: $\vec{a} = \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \\ . \\ . \\ . \\ n \end{array} \right)$

Vektoren werden in einem 2-dimensionalen Raum (auch in der Ebene genannt) folgendermaßen dargestellt:

Vektoren in der Ebene
Vektoren in der Ebene

In der obigen Grafik sind die Vektoren $\vec{a} =  \left( \begin{array}{c} 4 \\ 6 \end{array} \right)$ und $\vec{b} =  \left( \begin{array}{c} 8 \\ 2 \end{array} \right)$ dargestellt. 

Ortsvektoren

Wie in der obigen Grafik ersichtlich, können Vektoren dazu verwendet werden, Punkte im Raum zu bezeichnen. So kann z.B. der Ort des Punktes $P_1(4,6)$ durch den Vektor 

$\vec{a} = \vec{OP_1}$

dargestellt werden. Diesen Vektor nennt man den zum Punkt $P_1(4,6)$ gehörenden Ortsvektor. $O$ bezeichnet dabei den Koordinatenursprung $(0,0)$, der für alle Ortsvektoren den Startpunkt bildet und $P_1$ ist der Punkt auf den der Vektor zeigt.

Vektor aus zwei Punkten: Richtungsvektor

Zur Berechnung eines Vektors aus zwei Punkten $A$ und $B$ benötigt man zuerst die Ortsvektoren zu den Punkten $A$ und $B$. Geht der Vektor von $A$ nach $B$, (Spitze zeigt auf $B$) so zieht man den Ortsvektor $A$ vom Ortsvektor $B$ ab. Geht hingegen der Vektor von $B$ nach $A$ (Spitze zeigt auf $A$), so zieht man den Vektor $B$ vom Vektor $A$ ab.

Beispiel

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Gegeben sei der Punkt $A(4,6)$  und der Punkt $B(8,2)$ aus der obigen Grafik.

Die beiden zugehörigen Ortsvektoren sind $\vec{a} = \vec{OA} = (4, 6)$  und  $\vec{b} = \vec{OB} = (8, 2)$


Der dazugehörige Vektor, welcher von $A$ nach $B$ geht, ist:

$\vec{AB} = (8 - 4, 2 - 6)  =  (4, -4)$

Der Richtungsvektor $\vec{AB} = (4,-4)$ hat nun die folgende Richtung (rot gestrichelter Vektor):

Vektor aus zwei Punkten
Vektor aus zwei Punkten

Dieser Richtungsvektor ist ersteinmal ein Ortsvektor mit Beginn im Koordinatenursprung. Mit der Spitze zeigt er auf den Punkt $D(4, -4)$. Verschiebt man diesen nun (parallel zu sich selbst) zu den Punkten $A$ und $B$ hin, so sieht man, dass dies genau der Vektor ist der von Punkt $A$ nach Punkt $B$ geht. 

Im Weiteren werden die Addition und Subtraktion von Vektoren, die Multiplikation von Vektoren mit Skalaren und die Zerlegung von Vektoren behandelt.