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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra - Identische Geraden

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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra

Identische Geraden

Zwei Geraden $g$ und $h$ sind identisch, wenn beide auf derselben Wirkungslinie liegen, also $h = g$ gilt.

Bedingungen für Identische Geraden:

Methode

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1. Die Richtungsvektoren sind Vielfache voneinander (kollinear).

2. Der Aufpunkt der einen Geraden befindet sich auf der anderen Geraden.

Sind beide Bedingungen erfüllt, so handelt es sich um identische Geraden.

Hinweis

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Zur Überprüfung der zweiten Bedingung kann grundsätzlich jeder Punkt der Geraden verwendet werden. Da der Aufpunkt aber bereits gegeben ist, ist es sinnvoll diesen zu wählen.

Zum besseren Verständnis folgt ein Beispiel, in welchem gezeigt wird, wann zwei Geraden identisch sind.

Beispiel 1: Identische Geraden

Gegeben seien die beiden Geraden

Beispiel

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$g : \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array}\right) + t_1 \cdot \left(\begin{array}{c} 2 \\ 4 \end{array}\right) $

$h : \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 3 \\ 3 \end{array}\right) + t_2 \cdot \left(\begin{array}{c} 3 \\ 6 \end{array}\right) $

1.Richtungsvektoren auf Kollinearität prüfen

Zunächst prüfen wir, ob die beiden Richtungsvektoren Vielfache voneinander sind. Um dies herauszufinden müssen wir prüfen, ob die beiden Vektor linear voneinander abhängig sind. Ist dies der Fall, so sind die beiden Richtungsvektoren kollinear. Wir prüfen also, ob es eine Zahl $\lambda$ gibt, mit welcher multipliziert der Richtungsvektor der zweiten Geraden zum Richtungsvektor der ersten Geraden wird.

$\vec{v} = \lambda \cdot \vec{u}$

Wird also z.B. der Richtungsvektor $\vec{u}$ der zweiten Geraden mit einer reellen Zahl $\lambda$ multipliziert, so dass der Richtungsvektor $\vec{v}$ der ersten Geraden resultiert, dann sind beide Vektoren Vielfache voneinander, d.h. linear voneinander abhängig und liegen auf einer Wirkungslinie.

Wir stellen hierzu das lineare Gleichungssystem auf:

$\left(\begin{array}{c} 2 \\ 4 \end{array}\right) = \lambda \left(\begin{array}{c} 3 \\ 6 \end{array}\right)$

(1) $2 = 3 \lambda$

(2) $4 = 6 \lambda$

Wir lösen nun beide nach $\lambda$ auf. Resultiert für $\lambda$ beides Mal der selbe Wert, so sind beide Vektoren Vielfache voneinander.

(1) $\lambda = \frac{2}{3}$

(2) $\lambda = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

Für beide Gleichungen resultiert $\lambda = \frac{2}{3}$. Wird also der Vektor $\vec{u}$ mit $\lambda = \frac{2}{3}$ multipliziert, so resultiert der Vektor $\vec{u}$:

$\left(\begin{array}{c} 2 \\ 4 \end{array}\right) = \frac{2}{3} \left(\begin{array}{c} 3 \\ 6 \end{array}\right)$

Hinweis

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Die erste Bedingung für identische Geraden ist erfüllt.

2. Liegt der Aufpunkt der Geraden h in der Geraden g?

Als nächstes wollen wir bestimmen, ob der Aufpunkt der Geraden $h$ in der Geraden $g$ liegt. Ist dies der Fall, so ist auch die zweite Bedingung erfüllt und es handelt sich um identische Geraden.

Der Aufpunkt der Geraden $h$ ist der Ortsvektor der Geraden:

$\vec{a}_2 = \left(\begin{array}{c} 3 \\ 3 \end{array}\right)$

Wir setzen den Aufpunkt der Geraden $h$ mit der Geraden $g$ gleich:

$\left(\begin{array}{c} 3 \\ 3 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array}\right) + t_1 \cdot \left(\begin{array}{c} 2 \\ 4 \end{array}\right) $

Auch hier stellen wir wieder das lineare Gleichungssystem auf und berechnen $t_1$:

(1) $3 = 2 + 2 t_1$

(2) $3 = 1 + 4 t_1$

Wenn $t_1$ in allen Zeilen den gleichen Wert annimmt, liegt der Aufpunkt der Geraden $h$ auf der Geraden $g$.

(1) $t_1 = \frac{1}{2}$

(2) $t_1 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Da $t_1$ in allen Zeilen denselben Wert annimmt, liegt der Aufpunkt der Geraden $h$ auf der Geraden $g$.

Hinweis

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Die zweite Bedingung für identische Geraden ist erfüllt.

 

Da beide Bedingungen für identische Geraden erfüllt ist, sind beide Geraden Vielfache voneinander und es gilt $g = h$:

identische Geraden
Identische Geraden

 

Beispiel 2: Identische Geraden

Beispiel

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Gegeben seien die beiden Geraden:

$g : \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ -4 \end{array}\right) + t_1 \cdot \left(\begin{array}{c} 8 \\ -4 \\ 2 \end{array}\right) $

$h : \vec{x} = \left(\begin{array}{c} -3 \\ 4 \\ -5 \end{array}\right) + t_2 \cdot \left(\begin{array}{c} -2 \\ 1 \\ -0,5 \end{array}\right) $

Prüfe, ob die beiden Geraden identisch sind!

1.Richtungsvektoren auf Kollinearität prüfen

Zunächst prüfen wir, ob die beiden Richtungsvektoren Vielfache voneinander sind. Dazu ziehen wir die Richtungsvektoren heran:

$ \left(\begin{array}{c} 8 \\ -4 \\ 2 \end{array}\right) = \lambda \left(\begin{array}{c} -2 \\ 1 \\ -0,5 \end{array}\right)$

Wir stellen das lineare Gleichungssystem auf:

(1) $8 = -2 \lambda$

(2) $-4 = 1 \lambda$

(3) $2 = -0,5 \lambda$

Wir bestimmen für jede Zeile $\lambda$:

(1) $\lambda = -4$

(2) $\lambda = -4$

(3) $\lambda = -4$

Da in jeder Zeile $\lambda = -4$ ist, sind die beiden Richtungsvektoren Vielfache voneinander. Die erste Bedingung ist erfüllt.


Alternativ:

$\left(\begin{array}{c} -2 \\ 1 \\ -0,5 \end{array}\right) = \lambda \left(\begin{array}{c} 8 \\ -4 \\ 2 \end{array}\right)$

Wir stellen das lineare Gleichungssystem auf:

(1) $-2 = 8 \lambda$

(2) $1 = -4 \lambda$

(3) $-0,5 = 2 \lambda$

Wir bestimmen für jede Zeile $\lambda$:

(1) $\lambda = -\frac{1}{4}$

(2) $\lambda = -\frac{1}{4}$

(3) $\lambda = -\frac{1}{4}$

Da in jeder Zeile $\lambda = -\frac{1}{4}$ ist, sind die beiden Richtungsvektoren Vielfache voneinander. Die erste Bedingung ist erfüllt.

2. Liegt der Aufpunkt der Geraden h in der Geraden g?

Danach überprüfen wir, ob der Aufpunkt der Geraden $h$ in der Geraden $g$ liegt (ist natürlich ebenfalls andersherum möglich).

Aufpunkt der Geraden $h$:

$\left(\begin{array}{c} -3 \\ 4 \\ -5 \end{array}\right) $


Wir setzen den Aufpunkt mit der Geraden $g$ gleich

$\left(\begin{array}{c} -3 \\ 4 \\ -5 \end{array}\right)  = \left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ -4 \end{array}\right) + t_1 \cdot \left(\begin{array}{c} 8 \\ -4 \\ 2 \end{array}\right) $

und stellen das lineare Gleichungssystem auf:

(1) $-3 = 1 + 8t_1$

(2) $4 = 2 -4 t_1$

(3) $-5 = -4 + 2 t_1$

Auflösen nach $t_1$:

(1) $t_1 = -\frac{1}{2}$

(2) $t_1 = -\frac{1}{2}$

(3) $t_1 = - \frac{1}{2}$

Da in jeder Zeile $t_1 = -\frac{1}{2}$ ist, liegt der Aufpunkt der Geraden $h$ in der Geraden $g$.

Beide Bedingungen sind erfüllt, damit sind beide Geraden identisch.

 

Alternativ können wir auch sagen: Liegt der Aufpunkt der Geraden $g$ in der Geraden $h$?

Aufpunkt $g$: $\left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ -4 \end{array}\right)$

 

Gleichsetzen des Aufpunktes $g$ mit der Geraden $h$:

$\left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ -4 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} -3 \\ 4 \\ -5 \end{array}\right) + t_2 \cdot \left(\begin{array}{c} -2 \\ 1 \\ -0,5 \end{array}\right) $

Gleichungssystem aufstellen:

(1) $1 = -3 - 2 t_2$

(2) $2 = 4 + 1 t_2$

(3) $-4 = -5 - 0,5 t_2$

Auflösen nach $t_2$:

(1) $t_2 = -2$

(2) $t_2 = -2$

(3) $t_2 = -2$

Es resultiert natürlich, dass diese Bedingung erfüllt ist, also der Aufpunkt von $g$ in $h$ liegt.