Identische Geraden

Zwei Geraden $g$ und $h$ sind identisch, wenn beide auf derselben Wirkungslinie liegen, also $h = g$ gilt:

$g: \vec{x} = \vec{a} + t \cdot \vec{v}$

$h: \vec{x} = \vec{b} + s \cdot \vec{u}$

Bedingungen für Identische Geraden:

Sind beide Bedingungen erfüllt, so handelt es sich um identische Geraden.

Zum besseren Verständnis folgen zwei Beispiele, in welchen gezeigt wird, wann zwei Geraden identisch sind.

Beispiel 1: Identische Geraden

Gegeben seien die beiden Geraden

1.Richtungsvektoren auf Kollinearität prüfen

Zunächst prüfen wir, ob die beiden Richtungsvektoren Vielfache voneinander sind. Um dies herauszufinden, müssen wir prüfen, ob die beiden Vektoren linear voneinander abhängig sind. Ist dies der Fall, so sind die beiden Richtungsvektoren kollinear. Wir prüfen also, ob es eine Zahl $\lambda$ gibt, mit welcher multipliziert der Richtungsvektor der zweiten Geraden zum Richtungsvektor der ersten Geraden wird.

$\vec{v} = \lambda \cdot \vec{u}$

Wird also beispielsweise der Richtungsvektor $\vec{u}$ der zweiten Geraden mit einer reellen Zahl $\lambda$ multipliziert, sodass der Richtungsvektor $\vec{v}$ der ersten Geraden resultiert, dann sind beide Vektoren Vielfache voneinander, d. h. linear voneinander abhängig und liegen auf einer Wirkungslinie.

Wir stellen hierzu das lineare Gleichungssystem auf:

$\left(\begin{array}{c} 2 \\ 4 \end{array}\right) = \lambda \left(\begin{array}{c} 3 \\ 6 \end{array}\right)$

(1) $2 = 3 \lambda$

(2) $4 = 6 \lambda$

Wir lösen nun beide nach $\lambda$ auf. Resultiert für $\lambda$ beides Mal der selbe Wert, so sind beide Vektoren Vielfache voneinander.

(1) $\lambda = \frac{2}{3}$

(2) $\lambda = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

Für beide Gleichungen resultiert $\lambda = \frac{2}{3}$. Wird also der Vektor $\vec{u}$ mit $\lambda = \frac{2}{3}$ multipliziert, so resultiert der Vektor $\vec{u}$:

$\left(\begin{array}{c} 2 \\ 4 \end{array}\right) = \frac{2}{3} \left(\begin{array}{c} 3 \\ 6 \end{array}\right)$

2. Liegt der Aufpunkt der Geraden h in der Geraden g?

Als nächstes wollen wir bestimmen, ob der Aufpunkt der Geraden $h$ in der Geraden $g$ liegt. Ist dies der Fall, so ist auch die zweite Bedingung erfüllt und es handelt sich um identische Geraden.

Der Aufpunkt der Geraden $h$ ist der Ortsvektor der Geraden:

$\vec{a}_2 = \left(\begin{array}{c} 3 \\ 3 \end{array}\right)$

Wir setzen den Aufpunkt der Geraden $h$ mit der Geraden $g$ gleich:

$\left(\begin{array}{c} 3 \\ 3 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array}\right) + t_1 \cdot \left(\begin{array}{c} 2 \\ 4 \end{array}\right) $

Auch hier stellen wir wieder das lineare Gleichungssystem auf und berechnen $t_1$:

(1) $3 = 2 + 2 t_1$

(2) $3 = 1 + 4 t_1$

Wenn $t_1$ in allen Zeilen den gleichen Wert annimmt, liegt der Aufpunkt der Geraden $h$ auf der Geraden $g$.

(1) $t_1 = \frac{1}{2}$

(2) $t_1 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Da $t_1$ in allen Zeilen denselben Wert annimmt, liegt der Aufpunkt der Geraden $h$ auf der Geraden $g$.

Da beide Bedingungen für identische Geraden erfüllt sind, sind beide Geraden Vielfache voneinander und es gilt $g = h$.

identische Geraden

Beispiel 2: Identische Geraden

1.Richtungsvektoren auf Kollinearität prüfen

Zunächst prüfen wir, ob die beiden Richtungsvektoren Vielfache voneinander sind. Dazu ziehen wir die Richtungsvektoren heran:

$ \left(\begin{array}{c} 8 \\ -4 \\ 2 \end{array}\right) = \lambda \left(\begin{array}{c} -2 \\ 1 \\ -0,5 \end{array}\right)$

Wir stellen das lineare Gleichungssystem auf:

(1) $8 = -2 \lambda$

(2) $-4 = 1 \lambda$

(3) $2 = -0,5 \lambda$

Wir bestimmen für jede Zeile $\lambda$:

(1) $\lambda = -4$

(2) $\lambda = -4$

(3) $\lambda = -4$

Alternativ:

$\left(\begin{array}{c} -2 \\ 1 \\ -0,5 \end{array}\right) = \lambda \left(\begin{array}{c} 8 \\ -4 \\ 2 \end{array}\right)$

Wir stellen das lineare Gleichungssystem auf:

(1) $-2 = 8 \lambda$

(2) $1 = -4 \lambda$

(3) $-0,5 = 2 \lambda$

Wir bestimmen für jede Zeile $\lambda$:

(1) $\lambda = -\frac{1}{4}$

(2) $\lambda = -\frac{1}{4}$

(3) $\lambda = -\frac{1}{4}$

2. Liegt der Aufpunkt der Geraden h in der Geraden g?

Danach überprüfen wir, ob der Aufpunkt der Geraden $h$ in der Geraden $g$ liegt (ist natürlich ebenfalls andersherum möglich).

Aufpunkt der Geraden $h$:

$\left(\begin{array}{c} -3 \\ 4 \\ -5 \end{array}\right) $

Wir setzen den Aufpunkt mit der Geraden $g$ gleich

$\left(\begin{array}{c} -3 \\ 4 \\ -5 \end{array}\right)  = \left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ -4 \end{array}\right) + t_1 \cdot \left(\begin{array}{c} 8 \\ -4 \\ 2 \end{array}\right) $

und stellen das lineare Gleichungssystem auf:

(1) $-3 = 1 + 8t_1$

(2) $4 = 2 -4 t_1$

(3) $-5 = -4 + 2 t_1$

Auflösen nach $t_1$:

(1) $t_1 = -\frac{1}{2}$

(2) $t_1 = -\frac{1}{2}$

(3) $t_1 = - \frac{1}{2}$

Da in jeder Zeile $t_1 = -\frac{1}{2}$ ist, liegt der Aufpunkt der Geraden $h$ in der Geraden $g$.

Alternativ:

Wir können auch sagen: Liegt der Aufpunkt der Geraden $g$ in der Geraden $h$?

Aufpunkt $g$: $\left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ -4 \end{array}\right)$

Gleichsetzen des Aufpunktes $g$ mit der Geraden $h$:

$\left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ -4 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} -3 \\ 4 \\ -5 \end{array}\right) + t_2 \cdot \left(\begin{array}{c} -2 \\ 1 \\ -0,5 \end{array}\right) $

Gleichungssystem aufstellen:

(1) $1 = -3 - 2 t_2$

(2) $2 = 4 + 1 t_2$

(3) $-4 = -5 - 0,5 t_2$

Auflösen nach $t_2$:

(1) $t_2 = -2$

(2) $t_2 = -2$

(3) $t_2 = -2$