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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra - Übungsaufgaben zur Vektorrechnung

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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra

Übungsaufgaben zur Vektorrechnung

In diesem Abschnitt werden Beispielaufgaben zur Vektorrechnung aufgeführt.

Aufgabe 1: Addition und Subtraktion, Multiplikation mit einem Skalar

Beispiel

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Gegeben seien die Vektoren $\vec{a} = (2,-4,1)$ und $\vec{b} = (1,1,-2)$.

Berechnen Sie:

a) $\vec{a} + \vec{b}$

b) $-2\vec{a}$

c)$3\vec{a} - 2\vec{b}$

a) $\vec{a} + \vec{b} = (2+1, -4+1, 1-2) = (3, -3, -1) $

b) $-2\vec{a} = -2((2,-4,1) = (-4,8,-2)$

c) $3\vec{a} - 2\vec{b} = 3(2,-4,1) -  2(1,1,-2) = (4,-14,7)$

Aufgabe 2: Länge eines Vektors

Beispiel

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Gegeben seien die Vektoren $\vec{a} = (8, - 3 , -5)$ und $\vec{b} = (5, 5, -6)$.

Berechnen Sie den Abstand der Endpunkte von $\vec{a}$ und $\vec{b}$.

Die beiden Vektoren stellen Ortsvektoren dar, welche jeweils im Koordinatenurpsrung beginnen und auf die beiden Punkt $A(8,-3,-5)$ und $B(5,5,-6)$ zeigen.

Die beiden Endpunkte sind also $A$ und $B$. Es soll nun der Abstand zwischen diesen Punkten bestimmt werden. Der Abstand entspricht also gleich der Länge des Vektors, welcher zwischen diesen beiden Punkten liegt. Hierbei kann man den Vektor $\vec{AB}$ oder den Vektor $\vec{BA}$ heranziehen, beide weisen dieselbe Länge auf. Es gilt:

$\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a}$

Dieser Vektor zeigt von Punkt $A$ auf Punkt $B$.

$\vec{AB} =  (5, 5, -5) - (8, - 3 , -6) = (-3, 8, -1)$

Die Länge des Vektors wird bestimmt durch:

$|\vec{AB}| = \sqrt{(-3)^2 + 8^2 + (-1)^2} = \sqrt{74} \approx 8,6$

Die Länge des Vektors $\vec{AB}$, welcher zwischen den beiden Punkten $A$ und $B$ liegt ist gleichzeitig der Abstand der Endpunkte der Vektoren $\vec{a}$ (zeigt auf den Punkt $A$) und $\vec{b}$ (zeigt auf den Punkt $B$).

Aufgabe 3: Einheitsvektor berechnen

Beispiel

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Gegeben sei der Vektor $\vec{a} = (-3,2,5)$

Berechnen Sie den dazugehörigen Einheitsvektor!

Der Einheitsvektor wird bestimmt durch:

$\vec{e}_{vec{a}} = \frac{1}{|\vec{a}|} \cdot \vec{a}$

Es muss demnach zunächst die Länge des Vektors $\vec{a}$ bestimmt werden:

$|\vec{a}| = \sqrt{(-3)^2 + 2^2 + 5^2} = \sqrt{38} \approx 6,16 $

Es kann als nächstes der Einheitsvektor mit der Länge $1$ bestimmt werden:

$\vec{e}_{vec{a}} = \frac{1}{6,16} \cdot (-3,2,5) \approx (-0,49, 0,32, 0,81)$

Man bezeichnet dieses Vorgehen auch als Normierung von Vektor $\vec{a}$. Die Richtung des Einheitsvektors ist in Richtung von $\vec{a}$, allerdings wurde dieser nun auf die Länge $1$ normiert.