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Maschinenelemente 2

Tragfähigkeitsnachweis

In diesem Abschnitt starten wir die Berechnungen. Den Anfang macht dabei der Tragfähigkeitsnachweis.

Bevor es jedoch losgeht, gehen wir kurz auf vorausgehende Überlegungen ein, die es beim Tragfähigkeitsnachweis zu beachten gilt:

  • Die Hauptabmessungen lassen sich häufig nicht frei wählen, da sie durch konstruktive Gegebenheiten wie Lager, Welle-Nabe-Verbindungen oder Verzahnungsabmessungen beeinflusst werden. 
  • In der Vordimensionierung werden nicht alle Belastungen erfasst bzw. berücksichtigt, sondern lediglich die Belastung, die am meisten ins Gewicht fällt. Fast immer handelt es sich dabei um Belastungen durch Torsion oder durch Biegung.

 Tragfähigkeitsnachweis

Der Tragfähigkeitsnachweis (bzw. Festigkeitsrechnung) von Wellen und Achsen muss die nachfolgenden spezifischen Probleme berücksichtigen:

I Belastungen und Geometrie

Merke

Hier klicken zum AusklappenTrennung von statischen und dynamischen Lasten $ \rightarrow \sigma_V $ für beide bestimmen $ \rightarrow $ Smith-Diagramm.

Wellen und Naben sind durch Spannungen aus unterschiedlichen Lastgrößen beansprucht, welche wiederum unterschiedliche Lastfälle beinhalten. Zur Berechnung treffen wir jedoch vereinfachte Annahmen bei der Torsion, der Querkraft, der Biegung und der Normalkraft. Dennoch solltest du immer auf eine Vernachlässigung hinweisen und diese nicht einfach unkommentiert lassen.

Merke

Hier klicken zum AusklappenBei verhältnismäßig kurzen Wellen mit $ \frac{l}{d} = 5 $ muss der Querkrafteinfluss jedoch immer berücksichtigt werden! 

Zur Wiederholung nun die bekannten Gleichungen:

Methode

Hier klicken zum AusklappenBiegung: $ \sigma_b = \frac{M_b}{W_b} $

Normalkraft: $ \sigma_n = \frac{F}{A} $

Torsion: $ \tau_t = \frac{T}{W_t} $

Querkraft: $ \tau_s = \frac{Q}{A} $

Die Abbildung, die nun folgt, zeigt verschiedene gängige Wellengeometrien. Die nachfolgende Tabelle erfasst für dich die überschlägigen Abmessungen für eine Vordimensionierung der Widerstandsmomente $ W_b, W_t $ in $ m^3 $ und Flächenträgheitsmomente $ I_b, I_t $ in $ m^4 $.

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Glatte
Welle		Genutete
Welle		Glatte
Hohlwelle		KeilwelleDurchbohrte
Welle
$ W_b$$\approx 0,1 d^3 $$\approx 0,012 (D + d^3)$$\approx 0,1 \frac{D^4 - d^4}{D} $$\approx 0,012 (D + d)^3 $ $\approx 0,1 D^3 - 0,17 d \cdot D^2 $ 
$ W_t $$ 2 \cdot W_b $$\approx 0,2 \cdot d^3 $$ = 2 \cdot W_b $$ = 2 \cdot W_b $$\approx 2 \cdot W_b $
$ I_b $$\approx 0,1 d^4 $$\approx 0,003 (D + d)^4 $ $\approx 0,05 (D^4 -d^4) $ $\approx 0,003 (D + d)^4 $ $\approx 0,05 D^4 - 0,083 d \cdot D^3 $
$ I_t $$\approx 0,1 d^4 $$\approx 0,1 d^4 $ $ = 2 \cdot I_b $$ = 2 \cdot I_b $$\approx 2 I_b $

Merke

Hier klicken zum AusklappenWir erinnern uns: Als Widerstandsmomente und Flächenträgheitsmomente bezeichnet man Größen, die allein aus der Geometrie eines Querschnitts abgeleitet werden, wie in der obigen Tabelle für die Wellen aufgelistet. Dabei berücksichtigen die Gleichungen zur Geometrie sowohl die Maße als auch die Form der Welle.

II Kerben und Kerbwirkung

Merke

Hier klicken zum AusklappenAchsen und Wellen werden konstruktiv oft mit Kerben versehen. Während der Konstruktion sollte jedoch beachtet werden, dass eine Verwendung der Formziffer $ \alpha_K $ zulässig bleibt. 

Als Kerben fasst man grundsätzlich alle Veränderungen des Querschnitts auf. Hierzu zählen beispielsweise Umlaufkerben, Querschnittsübergänge und Bohrungen also auch Wellen-Nabe-Verbindungen. 

Jede Kerbart hat ihre speziellen Besonderheiten und Anforderungen von denen einige im Folgenden separat aufgelistet werden.

Umlaufkerben:

  • Beispiele: Nuten, Eindrehungen, Entlastungsnuten
  • Je tiefer und schärfer die Kerbe, umso höher wird der Spannungsgradient.
  • Entlastungsnuten können eine Tragfähigkeitssteigerung von bis zu 35 % ermöglichen.
  • Die Nuttiefe einer Entlastungsnut ist dabei entscheidend.

Querschnittsübergänge:

  • Gestaltung der Übergänge sollte kegelförmig oder mit Hohlkehle erfolgen.
  • Der Halbmesser sollte möglichst groß gewählt werden.
  • Beträgt das Verhältnis zwischen den Durchmessern $ \frac{D}{d} > 1,2 $, sollten mehrere Übergangstufen eingebaut werden. 
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Querbohrungen, Profilierungen, Längbohrungen:

  • besitzen eine sehr hohe Kerbwirkung
  • Die Kerbwirkung lässt sich mit Hilfe von Verstärkungen reduzieren.

Welle-Nabe-Verbindung:

  • Im Nabensitz liegt keine Bruchgefahr vor. $ \rightarrow $ Die Nabe wirkt systemversteifend.
  • Der Kraftfluss in Passfedern hingegen erhöht die Kerbspannung.
  • Nabenenden sind rissanfällig aufgrund des Steifigkeitssprungs an diesen Stellen.
  • Mikrobewegungen in der Welle-Nabe-Verbindung lassen Reibrost entstehen, der widerum eine Kerbwirkung erzeugt. 

III Zusätzliche Prüfungskriterien zum Tragfähigkeitsnachweis

Neben der Belastungsart und Geometrie einer Welle-Nabe-Verbindung und eventuell auftretender Kerbwirkungen in dieser, müssen für den Tragfähigkeitsnachweis noch weitere Kriterien überprüft werden:

  • Nichtüberschreitung biegekritischer und torsionskritischer Drehzahlen
  • Einhaltung der zulässigen Biegeverformung und zulässigen Torsionsverformung