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Maschinenelemente 2

Tragfähigkeitsnachweis

In diesem Abschnitt starten wir die Berechnungen und den Anfang macht dabei der Tragfähigkeitsnachweis.

 Bevor es jedoch losgeht, gehen wir kurz auf vorausgehende Überlegungen ein, die es beim Tragfähigkeitsnachweis zu beachten gilt:

  • Die Hauptabmessungen lassen sich häufig nicht frei wählen, da sie durch konstruktive Gegebenheiten, wie Lagern, Welle-Nabe-Verbindungen oder Verzahnungsabmessungen beeinflusst werden. 
  • In der Vordimensionierung werden nicht alle Belastungen erfasst berücksichtig, sondern lediglich, die Belastung die am meisten ins Gewicht fällt. Beinahe immer handelt es sich um Belastungen durch Torsion oder Biegung.

 Tragfähigkeitsnachweis

Der Tragfähigkeitsnachweis, oder auch Festigkeitsrechnung, von Wellen und Achsen muss die nachfolgenden spezifischen Probleme berücksichtigen: 

I Belastungen und Geometrie

Methode

Trennung von statischen und dynamischen Lasten $\rightarrow \sigma_V $ für beiden bestimmen $ \rightarrow $ Smith-Diagramm.

Wellen und Naben sind durch Spannungen aus unterschiedlichen Lastgrößen beansprucht, welche wiederum unterschiedliche Lastfälle beinhalten. Zur Berechnung treffen wir jedoch vereinfachte Annahmen bei der Torsion, der Querkraft, der Biegung und der Normalkraft. Dennoch sollten Sie immer auf eine Vernachlässigung hinweisen und diese nicht einfach unkommentiert lassen.

Methode

Bei verhältnismäßig kurzen Wellen mit $\frac{l}{d} = 5 $ muss der Querkrafteinfluss jedoch immer berücksichtigt werden! 

Zur Wiederholung nun die bekannten Gleichungen:

Merke

Biegung: $\sigma_b = \frac{M_b}{W_b} $

Merke

Normalkraft: $\sigma_n = \frac{F}{A} $

Merke

Torsion: $\tau_t = \frac{T}{W_t} $

Merke

Querkraft: $\tau_s = \frac{Q}{A} $

 Die Abbildung, die nun folgt zeigt verschiedene gängige Wellengeometrien und die nachfolgende Tabelle erfasst für Sie die überschlägigen Abmessungen für eine Vordimensionierung der Widerstandsmomente $ W_b, W_t $ in $ m^3 $ und Flächenträgheitsmomente $ I_b, I_t $ in $ m^4 $.

Wellenprofile
Wellenprofile
Momente/Wellengeometrien Glatte Welle Genutete Welle Glatte Hohlwelle Keilwelle Durchbohrte Welle
$ W_b$ $\approx 0,1 d^3 $ $\approx 0,012 (D + d^3)$ $\approx 0,1 \frac{D^4 - d^4}{D} $ $\approx 0,012 (D + d)^3 $  $\approx 0,1 D^3 - 0,17 d \cdot D^2 $ 
$ W_t $ $ 2 \cdot W_b $ $\approx 0,2 \cdot d^3 $ $ = 2 \cdot W_b $ $ = 2 \cdot W_b $ $\approx 2 \cdot W_b $
$ I_b $ $\approx 0,1 d^4 $ $\approx 0,003 (D + d)^4 $  $\approx 0,05 (D^4 -d^4) $  $\approx 0,003 (D + d)^4 $  $\approx 0,05 D^4 - 0,083 d \cdot D^3 $
$ I_t $ $\approx 0,1 d^4 $ $\approx 0,1 d^4 $  $ = 2 \cdot I_b $ $ = 2 \cdot I_b $ $\approx 2 I_b $

Methode

Wir erinnern uns: Als Widerstandsmomente und Flächenträgheitsmomente bezeichnet man Größen, die allein aus der Geometrie eines Querschnitts abgeleitet werden, wie in der obigen Tabelle für die Wellen aufgelistet. Dabei berücksichtigen die Gleichungen zur Geometrie sowohl die Maße als auch die Form der Welle. 

II Kerben und Kerbwirkung

Methode

Achsen und Wellen werden oft mit konstruktiven Kerben versehen. Während der Konstruktion sollte jedoch beachtet werden, dass eine Verwendung der Formziffer $ \alpha_K $ zulässig bleibt. 

Als Kerben fasst man grundsätzlich alle Veränderungen der Querschnitts auf. Hierzu zählen beispielsweise Umlaufkerben, Querschnittsübergänge, Bohrungen, also auch Wellen-Nabe-Verbindungen. 

Jede Kerbart hat ihre speziellen Besonderheiten und Anforderungen von denen einige im Folgenden separat aufgelistet werden:

Umlaufkerben: 

  • Beispiele: Nuten, Eindrehungen, Entlastungsnuten,
  • Je tiefer und schärfer die Kerbe, umso höher wird der Spannungsgradient,
  • Entlastungsnuten können eine Tragfähigkeitssteigerung von bis zu 35 % ermöglichen, 
  • Die Nuttiefe einer Entlastungsnut ist dabei entscheidend.

Querschnittsübergänge:

  • Gestaltung der Übergänge sollte kegelig oder mit Hohlkehle erfolgen,
  • Halbmesser sollte möglichst groß gewählt werden,
  • Beträgt das Verhältnis zwischen den Durchmessern $\frac{D}{d} > 1,2 $, sollten mehrere Übergangstufen eingebaut werden. 
Wellenstück mit Querschnittübergängen
Wellenstück mit Querschnittübergängen
Querschnittübergänge an einer Welle
Querschnittübergänge an einer Welle

Querbohrungen, Profilierungen, Längbohrungen

  • Besitzen eine sehr hohe Kerbwirkung,
  • Kerbwirkung lässt sich mit Hilfe von Verstärkungen reduzieren.

Welle-Nabe-Verbindung

  • Im Nabensitz liegt keine Bruchgefahr vor $\rightarrow $ Nabe wirkt systemversteifend
  • Kraftfluss in Passfedern hingegen erhöht die Kerbspannung,
  • Nabenenden sind rissanfällig aufgrund des Steifigkeitssprungs an diesen Stellen
  • Mikrobewegungen in der Welle-Nabe-Verbindung lassen Reibrost entstehen, der widerum eine Kerbwirkung erzeugt. 

III Zusätzliche Prüfungskriterien zum Tragfähigkeitsnachweis

Neben der Belastungsart und Geometrie einer Welle-Nabe-Verbindung und eventuell auftretender Kerbwirkungen in dieser, müssen für den Tragfähigkeitsnachweis noch weitere Kriterien überprüft werden:

  • Nichtüberschreitung biegekritischer und torsionskritischer Drehzahlen
  • Einhaltung der zulässigen Biegeverformung und zulässigen Torsionsverformung