Hangantriebskraft/Normalkraft

Auch ein Skater unterliegt der Hangantriebskraft

Zum Verständnis der Hangantriebkraft wird ein Körper auf einer Rampe betrachtet:

Normalkraft und Gewichtskraft

Welche Kräfte wirken auf den Körper?

Der Körper wird durch die Erdanziehung nach unten gezogen. Abhängig von der Masse des betrachteten Körpers wirkt also die senkrecht nach unten gerichtete Gewichtskraft mit $G = mg$, welche im Schwerpunkt des Körpers angreift.

Aufgrund der Rampe verbleibt der Körper aber auf der Rampe. Die Rampe verhindert also, dass der Körper in Richtung Erdmittelpunkt beschleunigt wird. Es wirkt also ebenfalls die Kraft, welche die Rampe auf den Körper ausübt. Diese Kraft wird als Normalkraft $F_N$ oder $N$ bezeichnet.

Das sind die zwei auf den Körper wirkenden Kräfte. Wenn wir als nächstes die $x$-Achse in Richtung der Bewegung des Körpers legen, dann sehen wir deutlich, dass die Gewichtskraft einen Anteil in $x$- und einen Anteil in $y$-Richtung aufweist. Die Komponente der Gewichtskraft in Richtung der $x$-Achse fürht dazu, dass sich der Körper nach unten bewegt. Je größer der Winkel $\alpha$ ist, desto größer ist die $x$-Komponente der Gewichtskraft und desto schneller bewegt sich der Körper. 

Hierfür ist es erforderlich das $x,y$-Koordinatensystem so zu legen, dass die x-Achse in Richtung der Bewegung verläuft, also um $\alpha$ geneigt zur Horizontalen:

Zerlegung der Gewichtskraft

Dabei bezeichnet man die $x$-Komponente der Gewichtskraft (also der Teil der für die Bewegung zuständig ist) auch als Hangantriebskraft $F_{hang}$. Die Normalkraft $F_N$ ist gleich der $y$-Komponente der Gewichtskraft. Die Normalkraft ersetzt die Ebene, auf welcher sich der Körper befindet und wird immer senkrecht (im 90°-Winkel) zur Ebene eingezeichnet.

Es ergibt sich demnach:

Die Hangantriebskraft zeigt genau in Richtung der $x$-Komponente der Gewichtskraft, die Normalkraft zeigt hingegen in entgegengesetzte Richtung zur $y$-Komponenten. 

Die Hangantriebskraft wird mit zunehmender Masse und zunehmendem Winkel größer. Handelt es sich also um eine horizontale Rampe, so ist die Hangantriebskraft $F =_{Hang} = 0$, da der Winkel $\alpha = 0°$ und die Normalkraft $N = G \cos \alpha = 9,81 N$ nimmt dann ihren maximalen Wert an, d.h. Normalkraft und Gewichtskraft sind dann identisch. Handelt es sich um eine vertikale Rampe mit $\alpha = 90°$, so verschwindet die Normalkraft und die Hangantriebskraft nimmt ihren maximalen Wert ist, ist also gleich der Gewichtskraft (Körper bewegt sich im freien Fall).

Wird eine Masse durch die Hangantriebskraft beschleunigt, so kann die Bewegungsgleichung geschrieben werden zu:

$F = ma$

Wobei $F$ die Hangantriebkraft darstellt mit $F = G \cdot \sin (\alpha) = mg \cdot \sin (\alpha)$:

$ mg \cdot \sin (\alpha) = ma$     |:m

Für die Normalkraft muss keine Beschleunigung eingeführt werden, da diese den Körper nicht bewegt. Die Nomalkraft ist notwendig für die Beschreibung der Reibung und Haftung eines Körpers. Mit Hilfe der Normalkraft kann die Reibungskraft bestimmt werden. 

Anwendungsbeispiel: Hangantriebskraft und Normalkraft

Beispiel: Hangantriebskraft und Normalkraft

Zunächst erfolgt der Freischnitt der Kiste:

Freischnitt

 Danach legen wir die $x$-Achse in Richtung der Bewegung:

x-Achse in Richtung der Bewegung

 Wir können als nächstes die Hangantriebskraft und die Normalkraft bestimmen, indem wir die Gewichtskraft in ihre $x$- und $y$-Komponente zerlegen. Die $x$-Komponente der Gewichtskraft wird dabei als Hanganrtiebskraft bezeichnet:

$F_{hang} = G \cdot \sin(\alpha)$

Die Normalkraft $F_N$ ist dabei gleich der $y$-Komponente der Gewichtskraft:

$F_N = G \cdot \cos(\alpha)$

Die Kräfte in $y$-Richtung heben sich demnach auf, weil die $y$-Komponente der Gewichtskraft in Richtung der negativen $y$-Achse und die Normalkraft in Richtung der positiven $y$-Achse zeigt (Kräfte sind entgegengesetzt gerichtet) und beide denselben Betrag aufweisen. In $y$-Richtung liegt also keine Bewegung vor. 

Wird eine Kraft in ihre Komponenten zerlegt, so ersetzen diese die Kraft:

Komponenten der Gewichtskraft

Die Hangantriebskraft ist die $x$-Komponente der Gewichtskraft und beträgt:

$F_{hang} = G \cdot \sin(25°) = 20 kg \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} \cdot \sin(25°) = 82,92 \frac{kg \; m}{s^2} = 82,92N$

$F_{hang} = G \cdot \sin(60°) = 20 kg \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} \cdot \sin(60°) = 82,92 \frac{kg \; m}{s^2} = 169,91N$

Die Normalkraft beträgt:

$F_N = G \cdot \cos(25°) = 20 kg \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} \cdot \cos(25°) = 82,92 \frac{kg \; m}{s^2} = 177,82 N$

$F_N = G \cdot \cos(60°) = 20 kg \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} \cdot \cos(60°) = 82,92 \frac{kg \; m}{s^2} = 98,1 N$

Je größer der Winkel $\alpha$ desto größer die Hangantriebskraft und desto geringer die Normalkraft. Bei einem Winkel von 90° ist die Hangantriebskraft maximal und die Normalkraft gleich Null. Der Körper befindet sich dann im freien Fall und die gesamte Gewichtskraft geht in die Bewegung des Körpers ein.

Wir können zusätzlich noch die Beschleunigung des Körpers bestimmen. Das Newtonsche Grundgesetz lautet:

$F_x = ma_x$

$F_y = ma_y$

Da keine Bewegung in $y$-Richtung stattfindet ist $a_y = 0$. Es gilt also $F_y = 0$, wobei $F_y$ die Summe aller Kräfte in $y$-Richtung darstellt. Über diese Gleichung erhalten wir auch den Zusammenhang, dass die Normalkraft gleich der $y$-Komponente der Gewichtskraft ist:

$F_y = -G \cdot \cos(\alpha) + F_N$              |mit $F_y = 0$

$-G \cdot \cos(\alpha) + F_N = 0$                 | Auflösen nach $F_N$

$F_N = G \cdot \cos(\alpha)$

Aus der Gleichung $F_x = ma_x$ können wir die Beschleunigung $a = a_x$ bestimmen:

$F_x = G \cdot \sin(\alpha) $                    |Einsetzen

$G \cdot \sin(\alpha) = m a_x$                 |nach $a_x$ auflösen

$a_x = \frac{G \cdot \sin(\alpha) }{m} =  \frac{m \cdot g \cdot \sin(25°) }{m}$     |$m$ kürzen

$a_x = g \cdot \sin(\alpha) $

Die Beschleunigung ist diesem Fall also nur abhängig vom Winkel $\alpha$. Die Fallbeschleunigng ist konstant:

$a_x = 9,81 \frac{m}{s^2} \cdot \sin(25°) = 4,15 \frac{m}{s^2}$

$a_x = 9,81 \frac{m}{s^2} \cdot \sin(60°) = 8,50 \frac{m}{s^2}$

Anwendungsbeispiel: Kiste und Kipphöhe

Beispiel: Kiste

Wir zeichnen zunächst das Freikörperbild:

Freikörperbild: Kiste

Wir haben einmal die Gewichtskraft der Kiste gegeben (vertikal nach unten gerichtet und im Schwerpunkt angreifend) und die Normalkraft $N$, welche die horizontale Ebene widerspiegelt. Diese hindert die Kiste daran in Richtung Erdmittelpunkt beschleunigt zu werden. Die Normalkraft steht immer senkrecht auf der betrachteten Ebene. Da wir hier eine horizontale Ebene haben, ist die Normalkraft vertikal gerichtet (im 90°-Winkel zur Ebene).

Aufgabenteil a)

Wir haben Kräfte in $x$- und in $y$-Richtung gegeben. In einem solchen Fall zerlegt man die Bewegungsgleichung in ihre $x$- und $y$-Komponente:

$F_x$ ist dabei die Summe aller Kräfte in $x$-Richtung und $F_y$ die Summe aller Kräfte in $y$-Richtung, welche auf die Kiste einwirken.

Wir müssen noch eine Richtung für die $x$-Achse festlegen und eine Richtung für die $y$-Achse. Grundsätzlich wird die $x$-Achse immer in Richtung der Bewegung gelegt und die $y$-Achse in Richtung der Normalkraft. Die $x$-Achse wird also nach links gerichtet und die $y$-Achse nach oben gerichtet angenommen

Die Summe aller Kräfte in $x$-Richtung ergibt dann:

$\leftarrow  \; F_x = F$   

Die Summe aller Kräfte in $y$-Richtung:

$\uparrow \; F_y = N - G$

Das setzen wir in die obigen Bewegungsgleichungen ein:

$F = ma_x$

$N - G = ma_y$

Da keine Bewegung in $y$-Richtung stattfindet gilt $a_y = 0$:

$N - G = 0$

Aus dieser Gleichung ist ersichtlich, dass:

$N = G = m \cdot g = 80 kg \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} = 784,8 N$.

Gewichtskraft und Normalkraft sind also gleich groß. Das bedeutet ganz einfach, dass die Kiste eine Gewichtskraft von 784,8 N aufweist und diese Kraft auf die horizontale Oberfläche ausübt. Da das Wechselwirkungsgesetz gilt, übt die horizontale Oberfläche eine gleich große aber entgegensetzte Kraft auf die Kiste aus.

Aufgrund von $a_y = 0$ benötigen wir diese Gleichung nicht zur Berechnung unserer Beschleunigung (später bei Berücksichtigung der Reibung ist die Normalkraft aber für die Berechnung der Beschleunigung relevant).

Wir betrachten also unsere Bewegungsgleichung in $x$-Richtung:

$F = ma_x$

Wir lösen diese Gleichung nach $a_x$ auf:

$a_x = \frac{F}{m}$

Und setzen die Werte ein:

$a_x = \frac{240 N}{80 kg} = 3 \frac{m}{s^2}$

Die Beschleunigung beträgt $a = 3 \frac{m}{s^2}$.

Aufgabenteil b)

 Wir wollen als nächstes die Geschwindigkeit der Kiste nach $s = 5m$ bestimmen. Da hier eine konstante Beschleunigung vorliegt, ändert sich die Geschwindigkeit mit der Zeit. Es gilt der folgende Zusammenhang (siehe Kapitel Kinematik):

$a = \frac{dv}{dt}$  

$dv = a \; dt$

$\int_0^v = a \int_0^t dt$  (Kiste wird aus der Ruhe verschoben $v_0 = 0$. Die Zeitmessung beginnt bei $t_0 = 0$)

Wir haben hier aber nicht die Zeit sondern den Weg gegeben, deswegen müssen wir noch den folgenden Zusammenhang berücksichtigen:

$v = \frac{dx}{dt}$

$dx = v \; dt$

$\int_0^x dx = \int_0^t v dt$

Einsetzen von $v = a \cdot t$:

$\int dx = \int a \cdot t \;  dt$

Wir müssen als nächstes die Zeit $t$ eliminieren. Hierfür stellen wir die Gleichung (1) nach $t$ um und setzen das in die Gleichung (2) ein:

$t = \frac{v}{a}$

$x = \frac{1}{2} \cdot a \cdot (\frac{v}{a})^2$

$x = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{v^2}{a^2}$

Auflösen nach $v$:

$v^2 = \frac{ 2 \cdot x \cdot a^2 }{a}$

$v^2 =  2 \cdot x \cdot a$

$v = \sqrt{2xa}$

Einsetzen der bekannten Werte:

$v = \sqrt{2 \cdot 5 m \cdot 3 \frac{m}{s^2}} = \sqrt{30} = 5,48 \frac{m}{s}$

Die Geschwindigkeit der Kiste nach $x = 5m$ beträgt $v = 5,48 \frac{m}{s}$.

Aufgabenteil c)

Als nächstes wollen wir die Kipphöhe der Kiste bestimmen. Greift die Kraft mit der Höhe $h$ vom Boden ausgesehen an die Kiste an, so kippt die Kiste ab einer bestimmten Höhe. Die Formel dazu ist:

Dabei ist $G$ die Gewichtskraft der Kiste, $l$ der senkrechte Abstand von der Gewichtskraft (Schwerpunkt der Kiste) zur unteren Kante der Kiste (letzter Berührungspunkt der Kiste mit dem Boden). $F$ ist die Kraft die an der Kiste angreift (nur der horizontale Anteil der Kraft) und $h$ ist die Höhe vom Kraftangriff zum Boden.

In unserem Fall greift bereits eine horizontale Kraft an die Kiste an. Würde die Kraft in einem Winkel $\alpha$ an die Kiste angreifen, so dürfte nur die Horizontalkomponente dieser Kraft berücksichtigt werden. Wir bestimmen nun die Höhe h:

$h = \frac{G \cdot l}{F}$

Der Abstand $l$ von der Gewichtskraft $G$ zur unteren linken Kante (Kraft greift rechts an, also kippt die Kiste links).

$l = 0,75m$  

Die Gewichtskraft greift im Schwerpunkt der Kiste an. Hierbei handelt es sich um eine rechteckige Kiste, also liegt der Schwerpunkt mittig. Die Kiste ist 1,5 m breit, vom Schwerpunkt zur unteren linken Kante ist die Abmessung also $l = 0,75m$.

$h = \frac{80 kg \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} \cdot 0,75m}{240 N}$

$h = 2,45m$

Was bedeutet das für unsere 0,5m hohe Kiste? Diese Kiste wird nicht kippen, egal wo die Kraft angreift. Denn die Kipphöhe vom Boden vertikal nach oben beträgt 2,45m.