Durchführung der Dimensionenanalyse

Passend zur mechanischen Verfahrenstechnik führen wir eine Dimensionsanalyse durch, bei der wir die Antriebsleistung $ P $ eines Rührwerks bestimmen möchten.

Rührwerk

Die Ermittlung der Leistung mit Hilfe der Dimensionsanalyse umfasst sieben Teilschritte:

Durchführung einer Dimensionsanalyse in sieben Schritten

1. Relevanten Einflussgrößen ermitteln

Im ersten Schritt ermitteln wir die Größen, die in unseren späteren Berechnungen notwendig sind. Weitere Größen, die zwar vorliegen aber nicht in die spätere Berechnung eingehen, lassen wir außer Acht. In unserem Fall sind folgenden Größen von Relevanz:

Kennzahlen: $ n $ = Drehzahl des Rührers, $ d $ = Durchmesser des Rührers, $ \mu $ = dynamische Zähigkeit des Rührgutes, $ \rho_f $ = Dichte des Rührgutes, $ g $ = Fallbeschleunigung.

Irrelevante Angaben sind hier: Durchmesser und Höhe des Rührbehälters. Beide gehen nicht in die Berechnung ein und werden nicht weiter betrachtet.

2. Einflussgrößen zerlegen

Im zweiten Schritt zerlegen wir die Einflussgrößen in die Grundgrößenarten und übertragen diese dabei in eine Koeffizientenmatrix mit dem Rang $ r = 3 $ ( 3 Spalten). Als Rang bezeichnet man die Spaltenzahl der größten von Null verschiedene Unterdeterminante.

3. Produkt der Einflussgrößen bilden

Im dritten Schritt bilden wir ein Produkt aus unseren vorliegenden Einflussgrößen unter Hinzunahme der notwendige Exponenten $ \xi_i $:

$ \Pi_k = P^{\xi_1} \cdot n^{\xi_2} \cdot d^{\xi_3} \cdot \mu^{\xi_4} \cdot \rho_f^{\xi_5} \cdot g^{\xi_6}$

4. In Grundgrößen trennen und umwandeln [MLT]

$ M^{\xi_1 + \xi_4 + \xi_5} \cdot L^{ 2 \xi_1 + \xi_3 - \xi_4 – 3\xi_5 + \xi_6} \cdot T^{-3 \xi_1 - \xi_2 - \xi_4 – 2\xi_6} = 1 $

5. Lineares Gleichungssystem aufstellen:

Im Summe müssen die Exponenten jeweils null ergeben, damit die Gleichung erfüllt ist:
$ \xi_1 + \xi_4 + \xi_5 = 0 $
$ 2 \xi_1 + \xi_3 - \xi_4 – 3\xi_5 + \xi_6 = 0 $
$ -3 \xi_1 - \xi_2 - \xi_4 – 2\xi_6 = 0 $

6. Lineares Gleichungssystem lösen:

Im vorletzten Schritt der Dimensionsanalyse lösen wir das Gleichungssystem auf. Das ist möglich, da wir 3 Gleichungen mit 6 Unbekannten vorliegen haben und drei Größen frei wählbar sind.

I: $ \xi_1 = 0, \xi_4 = 0, \xi_6 = 0 \rightarrow \xi_5 = - 1, \xi_2 = -3, \xi_3 = -5 $
$\rightarrow \Pi_1 = \frac{P}{\rho_f \cdot d^5 \cdot n^3 }$

II: $ \xi_1 = 0, \xi_2 = 1, \xi_6 = 0 \rightarrow \xi_4 = -1, \xi_5 = 1, \xi_3 = 2 $
$\rightarrow \Pi_2 = \frac{\rho_f \cdot n \cdot d^2}{\mu} $

III: $ \xi_1 = 0, \xi_4 = 0, \xi_6 = -1 \rightarrow \xi_2 = 2, \xi_5 = 0, \xi_3 = 1 $
$\rightarrow \Pi_3 = \frac{d \cdot n}{g} $

7. Mit vorhandenen dimensionslosen Kennzahlen vergleichen

$ \Pi_1 : $ Newton-Zahl $ Ne = f(Re, Fr) $ - Mit Hilfe der Newton-Zahl lassen sich Aussagen zur Leistungscharakteristik des Rührvorgangs in Abhängigkeit von der Reynolds-Zahl und Froude-Zahl treffen. Dies ist die Aussage dieser Dimensionsanalyse.

$ \Pi_2 : $ Reynolds-Zahl $ Re = \frac{\text{Träghheitskraft}}{\text{Reibungskraft}} $ - Mit Hilfe der Reynolds-Zahl lassen sich Aussagen zum Einfluss der Strömungsform (laminar oder turbulent) im Gefäß auf die Leistung des Rührers treffen.

$ \Pi_3 : $ Froude-Zahl $ Fr = \frac{\text{Trägheitskraft}}{\text{Schwerkraft}} $ - Die beim Rühren entstehende Trombe wird durch die Froude-Zahl beschrieben.

Zusammenfassung der Dimensionsanalyse