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Höhere Mathematik 2: Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen - Extremwerte ohne Nebenbedingungen

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Höhere Mathematik 2: Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen

Extremwerte ohne Nebenbedingungen

In der Mathematik ist oft von hohem Interesse zu erfahren, ob in Kurvenverläufen lokale Maxima oder Minima existieren. Hieraus lassen sich Aussagen bezüglich des Verhaltens einer Funktion treffen. 

Eine Funktion $ z = f(x,y) $hat an der Stelle $ (x_0,y_0) $ ein lokales Extremum wenn folgendes gilt:

  • $\ f_x(x_0,y_0) = 0 $ und $ f_y(x_0,y_0) = 0 \rightarrow $ Die partiellen Ableitungen erster Ordnung sind im gewählten Punkt beide gleich Null. 

  • $\triangle (x_0,y_0) = f_{xx}(x_0,y_0) \cdot f_{yy}(x_0,y_0) - (f_{xy}(x_0,y_0))^2 > 0 \rightarrow $ Das Produkt der 2. partiellen Ableitung nach $ x $ und $ y $ abzüglich  der Ableitungen der Funktion nach erst nach $ x $ und anschließend $ y $ zum Quadrat ist größer Null. 

Ist die Bedingung $\triangle (x_0,y_0) > 0$ erfüllt, dann gilt: 

$\ f_{xx}(x_0,y_0) >0 \rightarrow $ Minimum

$\ f_{xx}(x_0,y_0) < 0 \rightarrow $ Maximum.

Methode

Hier klicken zum Ausklappen Vorgehen zur Bestimmung einer Extremstelle:

1. Man differenziert die Funktion partiell nach $ x$ und $ y$. Hierbei können alle Punkte $ (x_E,y_E)$ gewählt werden, deren partiellen Ableitungen den Wert Null annehmen.

$\ f_x(x_E,y_E) = 0 $ sowie $ f_y(x_E,y_E) = 0$

Hieraus erhält man ein System von zwei Gleichungen für die Unbekannten $\ x_E $ und $\ y_E $, man nennt diese Lösungen stationäre Stellen

2. Als nächstes überprüft man, ob es sich tatsächlich um eine Extremstelle handelt indem man die 2. partielle Ableitung von $ x$ und $ y$ bildet und sowie die erste partielle Ableitung nach $ x $ bestimmt und diese anschließend wiederum nach $ y $ ableitet. 

3. Nun berechnet man Delta $\triangle$

$\triangle (x_E,y_E) = f_{xx}(x_E,y_E) \cdot f_{yy}(x_E,y_E) - (f_{xy}(x_E,y_E))^2 $

Ergibt sich aus der Berechnung, dass $\triangle (x_E,y_E) > 0 $ ist, so existiert eine

$\rightarrow $ Maximalstelle, wenn $ f_{xx} (x_E,y_E) < 0 $,

$\rightarrow $ Minimalstelle, wenn $ f_{xx} (x_E, y_E) > 0 $

Ergibt sich hingegen aus der Berechnung, dass $\triangle (x_E,y_E) < 0$ ist, so liegt in im Punkt $\ (x_E,y_E) $ ein Sattelpunkt vor.

Beispiel: Berechnung der stationären Stellen

Beispiel

Hier klicken zum Ausklappen

Gegeben sei die Funktion $z = f(x,y) = -x^2y + 6xy - xy^2$.

zu 1)

(I) $f_x = -2xy + 6y - y^2 = 0$

(II) $f_y = -x^2 + 6x - 2xy = 0$

Als nächstes versucht man die Gleichung in Faktoren zu zerlegen. Dies ist bei der Gleichung (I) möglich, indem man $y$ ausklammert:

(I) $y(-2x + 6 - y) = 0$

Ein Produkt ist immer dann Null, wenn einer der Faktoren Null ist:

(I) $y = 0 \; \vee \; (-2x + 6 - y) = 0$

Nun werden sowohl $y = 0$ als auch $(-2x + 6 - y) = 0$ in die Gleichung (II) eingesetzt:

1. Wert Einsetzen in die 2. Gleichung:

$y = 0$:

(II)  $-x^2 + 6x - 2x \cdot 0 = 0$

$\rightarrow \; -x^2 + 6x = 0$

Auch diese Gleichung kann in Faktoren zerlegt werden:

$x(-x + 6) = 0$ mit $x = 0 \; \vee \; -x + 6 = 0$

Auflösen nach $x$:

$x_1 = 0, \; x_2 = 6$

Stationäre Stellen:

$P_1(0,0), \; P_2(6, 0)$

2. Wert Einsetzen in die 2. Gleichung:

$(-2x + 6 - y) = 0 \; \rightarrow \; y = -2x + 6$:

(II) $-x^2 + 6x - 2x \cdot (-2x + 6) = 0$

$\rightarrow \; 3x^2 - 6x = 0$

Auch diese Gleichung kann in Faktoren zerlegt werden:

$x(3x - 6) = 0 \; \rightarrow \; x = 0 \; \vee \; 3x - 6 = 0$

Auflösen nach $x$:

$x_3 = 0, \; x_4 = 2$

Diese wiederum müssen in die Gleichung  $y = -2x + 6$  eingesetzt werden um den dazugehörigen $y$-Wert zu ermitteln:

$y_3 = -2 \cdot 0 + 6 = 6$

$y_4 = -2 \cdot 2 + 6 = 2$

Stationäre Stellen:

$P_3(0,6), \; P(2,2)$

Insgesamt ergeben sich die stationären Stellen:

$P_1(0,0), \; P_2(6, 0), \; P_3(0,6), \; P(2,2)$

Überprüfung auf Extremstellen

Als nächstes muss geprüft werden, ob es sich bei den ermittelten stationären Stellen tatsächlich um Extremwerte handelt. Dazu wird die 2. partielle Ableitung gebildet:

zu 2)

$f_{xx}(x,y) = -2y$

$f_{yy} (x,y) = -2x$

$(f_{xy} (x,y) )^2 = (-2x + 6 -2y)^2$

Danach werden die stationären Stellen eingesetzt und geprüft ob 

$\triangle (x_E,y_E) = f_{xx}(x_E,y_E) \cdot f_{yy}(x_E,y_E) - (f_{xy}(x_E,y_E))^2 > 0$

1) $\triangle (0, 0) = -2y \cdot  -2x - (-2x + 6 - 2y)^2 = 0 - 36 = -36 \; < 0$   Keine Extremstelle sondern Sattelpunkt

2) $\triangle (6, 0) = 0 - 36 = -36 \; < 0$  Keine Extremstelle sondern Sattelpunkt

3) $\triangle (0, 6) = 0 - 36 = -36 \; < 0$  Keine Extremstelle sondern Sattelpunkt

4) $\triangle (2, 2) = (-4) \cdot (-4) - 4 = 12 \; > 0$  Extremstelle

Bestimmung von Minimum und Maximum

Da nun die Extremstelle bestimmt wurde, wird als nächstes geprüft, ob es sich um ein Minimum oder ein Maximum handelt. Dazu wird die 2. Partielle Ableitung $f_{xx}$ (alternativ: $f_{yy}$) herangezogen:

4) $ f_{xx} (2,2) = -2 \cdot 2 = -4 \; \rightarrow \;$ Maximum