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In diesem Kurstext betrachten wir die spezifische Oberfläche und den Sauter-Durchmesser als Kenngrößen von Partikelverteilungen.
Spezifische Oberfläche
Die spezifische Oberfläche $ S_V $ stellt den Quotienten aus Partikeloberfläche $ S $ und Volumen
$ V $ eines Partikelkollektivs dar. Die notwendigen Gleichungen hierfür sind:
Diskrete Darstellung
Methode
$ S_V = \frac{S_{ges}}{V_{ges}} = \frac{\sum_{i = 1}^n \Delta S_i }{V_{ges}} = \sum_{i = 1}^n \frac{\Delta S_i}{\Delta V_i} \cdot \frac{ \Delta V_i}{V_{ges}} = \sum_{i = 1}^n S_{V,i} \cdot \Delta Q_{3,i} $
Kennwerte: $ S_{ge} $ = Oberfläche des gesamten Partikelkollektivs, $ V_{ge} $ = Volumen des gesamten Partikelkollektivs, $ \Delta V_i $ = Partikelvolumen in der Klasse i, $ \Delta S_i $ = Partikeloberfläche in der Klasse i.
Stellen wir nun obige Gleichung um, erhalten wir die Beziehung:
Methode
$ S_V = 6 f \cdot \sum_{i = 1}^n \frac{\Delta Q_{3, i}}{\overline{x}_i} $
Kennwerte: $ f $ = Heywood-Faktor [bei Kugeln f = 6], $ \overline{x}_i $ = Mittelere Partikelgröße im Intervall.
Liegt eine stetige Verteilung vor, so geht die Summe in die Integration über:
Methode
$ S_V = 6 f \cdot \int_{x_{min}}^{x_{max}} \frac{1}{x} q_3(x) dx $
In Momentenschreibweise:
Methode
$ S_V = 6 f \cdot M_{-1, 3} $
Kennwerte: $ M_{-1, 3} $ = vollständiges Moment der Ordnung -1 der $ q_3 $-Verteilung.
Unter Verwendung der Anzahlverteilung lässt sich die spezifische Oberfläche mit
- $ \overline{S} = \overline{k}_S \cdot \overline{x}^2 $
- $ \overline{V} = \overline {k}_V \cdot \overline{x}^3 $
Kennwerte: $ \overline{k}_s $ = Mittlerer Oberflächenformfaktor, $ \overline{k}_V $ = Mittlerer Volumenfaktor.
umformen zu:
Methode
$ S_V = \frac{\overline{S}}{\overline{V}} = \frac{\overline{k}_S}{\overline{k}_V} \cdot \frac{\overline{x}^2}{\overline{x}^3} = 6 f \cdot \frac{\overline{x}^2}{\overline{x}^3} = 6 f \cdot \frac{M_{2, 0}}{M_{3, 0}} $
Kennwerte: $ M_{2, 0}$ = Das Moment gibt bei kugelförmigen Partikeln die mittlere anzahlbezogene Oberfläche wieder, $ M_{3, 0} $ = Das Moment gibt das mittlere anzahlbezogene Volumen eines Partikelkollektives wieder.
Stetige Darstellung
Handelt es sich um eine stetige Darstellung so können wir folgende Gleichung verwenden:
Methode
$ S_V = 6 f \cdot \frac{\int_{x_{min}}^{x_{max}} x^2 \cdot q_0(x) dx}{\int_{x_{min}}^{x_{max}} x^3 \cdot q_0(x) dx} $
$ = 6 f \cdot \frac{M_{2, 0}}{M_{3, 0}} $
Reduzierte Oberfläche
Die spezifische Oberfläche eines Partikels ist auch von der Partikelform abhängig.
Merke
Es ist deshalb sinnvoll, zu einem Vergleich die Kugel als Bezugskörper zu wählen. Vergleicht man ein beliebig geformtes Partikel mit der volumengleichen Kugel, so bezeichnet man die folgende Verhältniszahl als reduzierte
Oberfläche $ s_r $ und deren Kehrwert ist die bereits bekannte Sphärizität $ \Psi $:
Methode
$ s_r = \frac{1}{\Psi} = \frac{S_{\text{Partikel}}}{S_{\text{volumengleiche Kugel}}} $
Weichen Partikel von der Kugelform ab, so gilt:
$ s_r > 1 \rightarrow $ für den Formfaktor f gilt:
$ f = 6 \cdot s_r = \frac{6}{\Psi} $
Sauter-Durchmesser
Auch der Sauter-Durchmesser $ D_S $ ist eine Kenngröße einer Partikelgrößenverteilung.
Merke
Somit ist der Sauter-Durchmesser nichts Anderes als der mittlere Durchmesser eines Partikelkollektivs. Es wird jedoch vorausgesetzt, dass es sich bei beiden verglichenen Systeme um Teilchenkollektive mit kugelförmigen Teilchen handelt.
Der Sauter-Durchmesser eignet sich in erster Linie zur Beschreibung von Partikelgrößenverteilungen von
- Feststoffen $\rightarrow $ Sand
- Flüssigkeiten [zerkleinert] $ \rightarrow $ Tropfen in Emulsionen
Formal drückt sich der Sauter-Durchmesser aus durch:
Methode
$ d_{3, 2} = D_S = \frac{6V}{S} = \frac{\overline{x}^3}{\overline{x}^2} \cdot \frac{1}{f} $
Merke
Statistische Streuungsmaße
Es empfiehlt sich ferner Statistische Streuungsmaße zu bestimmen, die die Breite einer Verteilung kennzeichnen:
$ x_{min} $ = Minimale Partikelgröße
$ x_{max} $ = Maximale Partikelgröße
$ x_{10} (Q(x_{10}) = 0,10) $ sowie $ x_{90} (Q(x_{90}) = 0,90) $ als spezielle Partikelgrößen.
Varianz und Standardabweichung
Als abschließenden Punkt in Bezug auf das Arithmetische Mittel betrachten wir kurz die Varianz und die Standardabweichung:
Diskrete und stetige Varianz
Die Varianz $ S_r^2 $ ist die mittlere quadratische Abweichung einer Verteilungsgröße von ihrem Mittelwert und kennzeichnet daher die Ausdehnung der Verteilung über die Abzisse. Erneut unterteilen wir die formale Beschreibung in diskret und stetig:
Methode
$ S_r^2 = \int_{x_{min}}^{x_{max}} (x_r - \overline{x}_r)^2 \cdot q_r(x) dx $ = Stetige Varianz.
Diskrete und stetige Standardabweichung
Die Standardabweichung ist die positive Wurzel aus der Varianz:
Methode
$ S_r = + \sqrt{ S_r^2 } = \sqrt{ \int_{x_{min}}^{x_{max}} (x_r - \overline{x}_r)^2 \cdot q_r(x) dx} $ = Stetige Standardabweichung.
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