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Mechanische Verfahrenstechnik - Spezifische Oberfläche, Sauter-Durchmesser

Kursangebot | Mechanische Verfahrenstechnik | Spezifische Oberfläche, Sauter-Durchmesser

Mechanische Verfahrenstechnik

Spezifische Oberfläche, Sauter-Durchmesser

In diesem Kurstext betrachten wir die spezifische Oberfläche und den Sauter-Durchmesser als Kenngrößen von Partikelverteilungen. 

Spezifische Oberfläche 

Die spezifische Oberfläche $ S_V $ stellt den Quotienten aus Partikeloberfläche $ S $ und Volumen
$ V $ eines Partikelkollektivs dar. Die notwendigen Gleichungen hierfür sind:

Diskrete Darstellung

Methode

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$ S_V = \frac{S_{ges}}{V_{ges}} = \frac{\sum_{i = 1}^n \Delta S_i }{V_{ges}} = \sum_{i = 1}^n \frac{\Delta S_i}{\Delta V_i} \cdot \frac{ \Delta V_i}{V_{ges}} = \sum_{i = 1}^n S_{V,i} \cdot \Delta Q_{3,i} $

Kennwerte: $ S_{ge} $ = Oberfläche des gesamten Partikelkollektivs, $ V_{ge} $ = Volumen des gesamten Partikelkollektivs, $ \Delta V_i $ = Partikelvolumen in der Klasse i, $ \Delta S_i $ = Partikeloberfläche in der Klasse i.

Stellen wir nun obige Gleichung um, erhalten wir die Beziehung: 

Methode

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$ S_V = 6 f \cdot \sum_{i = 1}^n \frac{\Delta Q_{3, i}}{\overline{x}_i} $

Kennwerte$ f $ = Heywood-Faktor [bei Kugeln f = 6], $ \overline{x}_i $ = Mittelere Partikelgröße im Intervall

Liegt eine stetige Verteilung vor, so geht die Summe in die Integration über:

Methode

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$ S_V = 6 f \cdot \int_{x_{min}}^{x_{max}} \frac{1}{x} q_3(x) dx $

In Momentenschreibweise:

Methode

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$ S_V = 6 f \cdot M_{-1, 3} $

Kennwerte: $ M_{-1, 3} $ = vollständiges Moment der Ordnung -1 der $ q_3 $-Verteilung.

Unter Verwendung der Anzahlverteilung lässt sich die spezifische Oberfläche mit

  1. $ \overline{S} = \overline{k}_S \cdot \overline{x}^2 $
  2. $ \overline{V} = \overline {k}_V \cdot \overline{x}^3 $

Kennwerte: $ \overline{k}_s $ = Mittlerer Oberflächenformfaktor, $ \overline{k}_V $ = Mittlerer Volumenfaktor.

umformen zu:

Methode

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$ S_V = \frac{\overline{S}}{\overline{V}} = \frac{\overline{k}_S}{\overline{k}_V} \cdot \frac{\overline{x}^2}{\overline{x}^3} = 6 f \cdot \frac{\overline{x}^2}{\overline{x}^3} = 6 f \cdot \frac{M_{2, 0}}{M_{3, 0}} $

Kennwerte: $  M_{2, 0}$ = Das Moment gibt bei kugelförmigen Partikeln die mittlere anzahlbezogene Oberfläche wieder, $ M_{3, 0} $ = Das Moment gibt das mittlere anzahlbezogene Volumen eines Partikelkollektives wieder. 

Stetige Darstellung

Handelt es sich um eine stetige Darstellung so können wir folgende Gleichung verwenden:

Methode

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$ S_V = 6 f \cdot \frac{\int_{x_{min}}^{x_{max}} x^2 \cdot q_0(x) dx}{\int_{x_{min}}^{x_{max}} x^3 \cdot q_0(x) dx} $

$ = 6 f \cdot  \frac{M_{2, 0}}{M_{3, 0}} $

Reduzierte Oberfläche

Die spezifische Oberfläche eines Partikels ist auch von der Partikelform abhängig.

Merke

Hier klicken zum AusklappenWir erinnern uns: Für ein vorgegebenes Volumen ist die Oberfläche der Kugel am kleinsten.

Es ist deshalb sinnvoll, zu einem Vergleich die Kugel als Bezugskörper zu wählen. Vergleicht man ein beliebig geformtes Partikel mit der volumengleichen Kugel, so bezeichnet man die folgende Verhältniszahl als reduzierte
Oberfläche $ s_r $ und deren Kehrwert ist die bereits bekannte Sphärizität $ \Psi $:

Methode

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$ s_r = \frac{1}{\Psi} = \frac{S_{\text{Partikel}}}{S_{\text{volumengleiche Kugel}}} $ 

Weichen Partikel von der Kugelform ab, so gilt:

$ s_r > 1 \rightarrow $ für den Formfaktor f gilt:

$ f = 6 \cdot s_r = \frac{6}{\Psi} $

Sauter-Durchmesser

Auch der Sauter-Durchmesser $ D_S $ ist eine Kenngröße einer Partikelgrößenverteilung. 

Merke

Hier klicken zum AusklappenDefinition: Gelänge es uns das Gesamtvolumen der Partikel einer Schüttung (Festkörper) in gleich große Kugeln umzuformen, die in Summe das identische Volumen-/Oberflächenverhältnis zum Partikelkollektivs besitzen, so hätten diese Kugeln den Sauter-Durchmesser. Eine andere gängige Bezeichnung ist Sauter - Mean Diameter $ d_{SMD} $ oder $ d_{32} $ - Die Angabe erfolgt in m (Meter)
Prinzip - Sauter-Durchmesser
Prinzip - Sauter-Durchmesser

 

Somit ist der Sauter-Durchmesser nichts Anderes als der mittlere Durchmesser eines Partikelkollektivs. Es wird jedoch vorausgesetzt, dass es sich bei beiden verglichenen Systeme um Teilchenkollektive mit kugelförmigen Teilchen handelt. 

Der Sauter-Durchmesser eignet sich in erster Linie zur Beschreibung von Partikelgrößenverteilungen von 

  • Feststoffen $\rightarrow $ Sand
  • Flüssigkeiten [zerkleinert] $ \rightarrow $ Tropfen in Emulsionen

Formal drückt sich der Sauter-Durchmesser aus durch:

Methode

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$ d_{3, 2} = D_S = \frac{6V}{S} = \frac{\overline{x}^3}{\overline{x}^2} \cdot \frac{1}{f} $

Merke

Hier klicken zum AusklappenMit $ f $ wird ein Formfaktor berücksichtigt, der einen modifizierten Sauterdurchmesser $ D_s' $ ergibt. 

Statistische Streuungsmaße

Es empfiehlt sich ferner Statistische Streuungsmaße zu bestimmen, die die Breite einer Verteilung kennzeichnen:

$ x_{min} $ = Minimale Partikelgröße

$ x_{max} $ = Maximale Partikelgröße

$ x_{10} (Q(x_{10}) = 0,10) $ sowie $ x_{90} (Q(x_{90}) = 0,90) $ als spezielle Partikelgrößen.

Varianz und Standardabweichung

Als abschließenden Punkt in Bezug auf das Arithmetische Mittel betrachten wir kurz die Varianz und die Standardabweichung:

Diskrete und stetige Varianz

Die Varianz $ S_r^2 $ ist die mittlere quadratische Abweichung einer Verteilungsgröße von ihrem Mittelwert und kennzeichnet daher die Ausdehnung der Verteilung über die Abzisse. Erneut unterteilen wir die formale Beschreibung in diskret und stetig:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen$ S_r^2 $$ = \sum_{i = 1}^{j} (\overline{x}_{i, r}$$ - \overline{x}_r)^2 \cdot q_r(\overline{x}_i) \cdot \Delta x_i $ = Diskrete Varianz

$ S_r^2 = \int_{x_{min}}^{x_{max}} (x_r - \overline{x}_r)^2 \cdot q_r(x) dx $ = Stetige Varianz

Diskrete und stetige Standardabweichung

Die Standardabweichung ist die positive Wurzel aus der Varianz:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen$ S_r = + \sqrt{ S_r^2 } = \sqrt{ \sum_{i = 1}^{j} (\overline{x}_{i, r} - \overline{x}_r)^2 \cdot q_r(\overline{x}_i) \cdot \Delta x_i} $ Diskrete Standardabweichung

$ S_r = + \sqrt{ S_r^2 } = \sqrt{ \int_{x_{min}}^{x_{max}} (x_r - \overline{x}_r)^2 \cdot q_r(x) dx} $ = Stetige Standardabweichung.