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Mechanische Verfahrenstechnik - Sinkgeschwindigkeit - Physikalisches Partikelmerkmal

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Mechanische Verfahrenstechnik

Sinkgeschwindigkeit - Physikalisches Partikelmerkmal

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Video: Sinkgeschwindigkeit - Physikalisches Partikelmerkmal

 

Die Sinkgeschwindigkeit eines Partikels stellt dessen stationäre Fallgeschwindigkeit $ w_f $ dar. Dieses physikalische Merkmal eignet sich auch zur Ermittlung der Dispersitätsgröße. Die verursachende Größe ist hier die Schwerkraft. 

Video: Sinkgeschwindigkeit - Physikalisches Partikelmerkmal

Sofern sich die Partikel des dispersen Systems in einem Fluid befinden, so wirken Druck- und Reibungskräfte auf jedes Partikel (Korn, Tropfen, Blase). Dabei ist in erster Linie nicht von Belang ob sich das Fluid in Ruhe oder in Bewegung befindet. Im ersteren Fall wirkt der statische Auftrieb und im zweiten Fall die Umströmung. Wirken die Kräfte in Anströmrichtung, so bezeichnet man diese als Widerstandskräfte, ist die Wirkung hingegen senkrecht gerichtet so liegt ein dynamischer Auftrieb vor. 

Oberflächenkräfte

Wenn wir von Oberflächenkräften sprechen, können daher wir direkt drei Fälle unterscheiden:

  1. Statischer Auftrieb
  2. Widerstandskraft
  3. Dynamischer Auftrieb

Statischer Auftrieb

Der statische Auftrieb eines in einem Fluid befindlichen Partikels errechnet sich über die Integration der Druckkräfte über die Oberflächen. Dabei wirkt der statische Auftrieb entgegen dem Beschleunigungsfeld, welches den Druckgradienten erzeugt. Wir unterscheiden desweiteren ob ein Schwerefeld oder ein Zentrifugalfeld vorliegt:

  1. Statischer Auftrieb bei einem Schwerefeld: $ (\vec{F}_A)_g = - V_p \cdot \rho_f \cdot \vec{g} $
  2. Statischer Auftrieb bei einem Zentrifugalfeld:  $ ( \vec{F}_A)_Z = - V_p \cdot \rho_f \cdot \vec{r} \cdot \omega^2 $

Kennwerte: $ V_p $ = Partikelvolumen, $ \rho_f $ = Fluiddichte, $ \omega $ = Winkelgeschwindigkeit

Widerstandskraft

Die Widerstandskraft entsteht aufgrund der Anströmung des Partikels und wirkt in Richtung der Anströmung. Um diese Größe berechnen zu können müssen wir zwei Annahmen treffen:

  1. Das Strömungsmedium ist inkompressible,
  2. Es liegen keine festen Wände oder andere Partikel vor. 

In beiden Fällen läge ansonsten eine Beeinflussung der Strömung vor. Formal können wir die Widerstandskraft bestimmen durch:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen$ \vec{F}_w = \frac{\rho_f}{2} |\vec{w}| \cdot \vec{w} \cdot A \cdot c_w (Re_d) $

Kennwerte: $ Re_d $ = Reynoldszahl

Da die Widerstandsfunktion direkt von der Reynoldszahl abhängt, definieren wir diese näher:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen$ Re_d = \frac{w \cdot d \cdot \rho_f}{\eta} $ Reynoldszahl (dynamisch)

Kennwerte: $ \rho_f $ = Fluiddichte, $ d $ = Charakteristischer Partikeldurchmesser, $ w $ = Anströmgeschwindigkeit, $ \eta $ = dynamische Anströmgeschwindigkeit.

Die Relation zwischen $ c_W $ und $ Re_d $ kann Diagrammen entnommen werden. 

Dynamischer Auftrieb

Beim dynamischen Auftrieb als Kraft liegt eine unsymmetrische Anströmung vor, die zu einer ungleichmäßigen Druckverteilung führt. Formal lässt sich dieser Vorgang ausdrücken durch:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen$ F_D = \frac{\rho_f}{2} \cdot w^2 \cdot A \cdot c_D $

Kennwerte: $ \rho_f $ = Fluiddichte, $ c_D $ = Auftriebsbeiwert, $ w $= Anströmgeschwindigkeit, $ A $ = Anströmquerschnitt

Massenkräfte

Video: Sinkgeschwindigkeit - Physikalisches Partikelmerkmal

Hier können wir für drei Fälle unterscheiden:

  1. Schwerkraft: $ \vec{F}_G = m_p \cdot \vec{g} = \rho_p \cdot V_p \cdot \vec{g} $
  2. Zentrifugalkraft: $ \vec{F}_Z = m_p \cdot \vec{r} \cdot \omega^2 $
  3. Trägheitskraft: $ \vec{F}_T = - m_p \cdot \vec{a} = - \rho_p \cdot V_p \cdot \vec{a} $

Kennzahlen: $ m_p $ = Partikelmasse, $ \rho_p $ = Partikeldichte, $ V_p $ = Partikelvolumen, $ r $ = Abstand des Partikelschwerpunktes von der Drehachse, $\omega $ = Winkelgeschwindigkeit

 

Stationäre Sinkgeschwindigkeit

Video: Sinkgeschwindigkeit - Physikalisches Partikelmerkmal

Verbildlicht ist die stationäre Sinkgeschwindigkeit in der nächsten Abbildung:

Sinkendes Partikel
Sinkendes Partikel

Kommen wir nun wieder zu unserem Kräftegleichgewicht, ausgehend von unserer Grafik:

$ F_G - F_A = F_W $ daraus folgt:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen$ (\rho_p - \rho_f) \cdot \frac{\pi}{6} \cdot d^3 \cdot g = \frac{\rho_f}{2} \cdot w_f^2 \cdot \frac{\pi}{4} \cdot d^2 \cdot c_w(Re_d) $ 

Jetzt können wir entweder für den Stokes-Bereich oder den Newton-Bereich $ c_w(Re_d) $ einsetzen und anschließend nach $ w_f $ auflösen um unsere Gleichung für die Stationäre Sinkgeschwindigkeit zu bestimmen:

  1. $ w_{f_{St}} = \frac{(\rho_p - \rho_f)}{18 \eta} \cdot g \cdot d^2 \cdot $ (Stokes) 
  2. $ w_{f_N} = 1,74 \cdot \sqrt{\frac{(\rho_p - \rho_f)}{\rho_f} \cdot g \cdot d} \cdot $ (Newton) 

Kennwerte: $ d $ = Partikeldurchmesser, $ \rho_p $ = Partikeldichte, $ \rho_f $ = Fluiddichte, $ \eta$ = dynamische Zähigkeit des Fluids

Vertiefung

Hier klicken zum Ausklappen
Analogie zwischen Schwerefeld und Zentrifugalfeld

Unsere bisherigen Überlegungen betrafen allein die Sinkgeschwindigkeit für ein Schwerefeld, aber auch die Sinkgeschwindigkeit für ein Zentrifugalfeld lässt sich auf diese Weise bestimmen.