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Strömungslehre - Hydrostatische Auftriebskraft

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Strömungslehre

Hydrostatische Auftriebskraft

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Es ist bekannt, dass ein Körper innerhalb einer Flüssigkeit (z.B. Wasser) weniger Gewichtskraft aufweist, als befände sich der Körper "an Land". Messen kann man das z.B. ganz einfach mittels eines Federkraftmessers. Man misst den Körper "an Land", taucht diesen dann ins Wasser ein und misst nochmals die Gewichtskraft. Man wird erkennen, dass der Körper im Wasser weniger wiegt. Das bedeutet also, dass in der betrachteten Flüssigkeit eine Kraft der Gewichtskraft entgegenwirken muss. Diese Kraft, welche der Gewichtskraft entgegen wirkt, bezeichnet man als Auftriebskraft $F_A$. Der Auftrieb hingegen ist die Erscheinung selbst.

Der Grund für die Entstehung von Auftrieb ist der hydrostatische Druck (auch Schweredruck), welcher in verschiedenen Tiefen unterschiedlich groß ist (je tiefer desto größer).

Realdarstellung der Auftriebskraft (Taucher)
Realdarstellung der Auftriebskraft (Taucher)
Hydrostatische Auftriebskraft
Hydrostatische Auftriebskraft (schematisch)

Den Auftrieb kann man sich herleiten. Da der Druck in geringerer Tiefe $h_1$ kleiner ist, als in größerer Tiefe $h_2$, gilt zunächst:

$p_1 < p_2$    für    $h_1 < h_2$.

Der Querschnitt welcher betrachtet wird, sei konstant (z.B. Balken mit konstantem Querschnitt wird ins Wasser getaucht):

$A_1 = A_2 = A$.

Der Druck berechnet sich durch die Kraft, welche senkrecht auf die Querschnittsfläche wirkt:

$p = \frac{F}{A}$.


Umgestellt nach der Kraft $F$:

$F = p \cdot A$.

In unterschiedlicher Tiefe existieren unterschiedlich große Kräfte, sodass gilt:

$p_1 \cdot A < p_2 \cdot A$  und damit

$F_1 < F_2$.

Die Auftriebskraft ist die Summe aus den beiden Kräften, welche vertikal von oben und vertikal von unten auf den Körper drücken. Da diese beiden Kräfte entgegengesetzt gerichtet sind, ergibt sich:

$F_A = F_2 - F_1$.      (vertikal nach oben gerichtet wird immer positiv gewertet)

Aus der obigen Gleichung kann man schlussfolgern, dass die Auftriebskraft an einem Körper umso größer ist, je größer sein eingetauchtes Volumen. Gleichzeitig verdrängt der eingetauchte Körper mit seinem Volumen ein genauso großes Volumen an Flüssigkeit.  Die vom Körper verdrängte Flüssigkeit besitzt eine bestimmte Gewichtskraft. Es existiert ein Zusammenhang zwischen Auftriebskraft und verdrängter Flüssigkeit, welcher durch das archimedische Gesetz beschrieben. Es lautet:

Merke

Gesetz von Archimedes

Die auf den Körper wirkende Auftriebskraft ist gleich der Gewichtskraft der von ihm verdrängten Flüssigkeitsmenge.

Wird ein Körper in eine Flüssigkeit gebracht, so ist der Druck an der Unterseite höher als an der Oberseite. Die resultierende Kraft weist nach oben und heißt Auftrieb. Die Auftriebskraft entspricht der Gewichtskraft der verdrängten Flüssigkeit (Archimedisches Prinzip). Das bedeutet also $F_A = F_G$. Und die Gewichtskraft der Flüssigkeitsmenge, welche von dem Körper verdrängt wird, lässt sich berechnen durch:

Methode

$F_A = F_G = \rho_{Fluid} \; g \; V_{Körper}$       Auftriebskraft

Die Auftriebskraft $F_A$ berücksichtigt also die Dichte der Flüssigkeit, die Fallbeschleunigung und das Volumen der verdrängten Flüssigkeitsmenge (= Volumen des Körpers). 

Merke

WICHTIG: Die Auftriebskraft ist gleich der Vertikalkraft, wobei sich jedoch die horizontalen Kräfte aufheben.

Fälle von Auftrieb

Heben sich die Horizontalkräfte auf (ist die Horizontalkraft gleich null), so existiert ein Auftrieb. Um den Auftrieb zu berechnen, kann man folgende Resultierende bestimmen, um herauszufinden was genau mit dem Körper im Fluid passiert:

Methode

$F_{res} = (\rho_{Fluid} - \rho_{Körper}) g \; V_{Körper}$   Resultierende Kraft

Es können sich aus der obigen Formel drei Fälle ergeben:

Fall 1: $ \rho_{Körper} < \rho_{Fluid}$

Die resultierende Kraft $F_{res}$ weist vertikal nach oben. Der Körper bewegt sich aufwärts. 

Fall 2: $ \rho_{Körper} > \rho_{Fluid}$

Die resultierende Kraft $F_{res}$ weist vertikal nach unten. Der Körper bewegt sich abwärts. 

Fall 2: $ \rho_{Körper} = \rho_{Fluid}$

Die resultierende Kraft ist null und der Körper bleibt in seiner Position. Problematisch sind in dieser Situation schon kleine Änderungen des statischen Drucks, welche dazu führen, dass sich der Körper auf und ab bewegt. 

Zusammenfassung Auftrieb

Wird ein Körper in eine Flüssigkeit getaucht, so ist der Druck an der Unterseite größer als der Druck an der Oberseite. Daraus folgt eine vertikal nach oben gerichtete Auftriebskraft des Körpers. Diese Auftriebskraft entspricht der Gewichtskraft der verdrängten Flüssigkeit (Gesetz von Archimedes). Ist die durchschnittliche Dichte des Körpers kleiner als die Dichte der Flüssigkeit, so überwiegt die Auftriebskraft gegenüber der Gewichtskraft. Wirken dann nicht noch andere Kräfte auf ihn ein (z.b. Horizontalkräfte), steigt der Körper nach oben und schwimmt. Ist seine Dichte hingegen größer als die der Flüssigkeit, sinkt der Körper nach unten. Ist die Dichte hingegen gleich, so verharrt der Körper in seiner Position.

Anwendungsbeispiel: Auftriebskraft und resultierende Kraft

Beispiel

Gegeben seien zwei Kugeln, welche beide in Wasser eingetaucht werden. Eine Kugel ist aus Stahl mit einer Dichte von $\rho = 7,85 kg/dm^3$, die andere Kugel aus Holz mit einer Dichte von $\rho = 0,8 kg/dm^3$. Die beiden Kugeln haben einen Durchmesser von 200 mm. Wasser hat eine Dichte von $\rho = 999,97 kg/m^3$.

Wie groß sind die Auftriebskräfte der beiden Kugeln?

Wie groß ist die resultierende Kraft der beiden Kugeln? Was genau passiert mit den Kugeln?

Zunächst einmal werden die Auftriebskräfte der beiden Kugeln bestimmt. Die Auftriebskraft ist gleich der Gewichtskraft der verdrängten Wassermenge durch die Kugeln. Das bedeutet also, dass die Dichte des Wassers, das Volumen des Körpers (= verdrängtes Wasservolumen) und die Fallbeschleunigung betrachtet werden:

$F_A = \rho_{Fluid} \; g \; V_{Körper}$

$F_A^{Stahl} = 999,97 \frac{kg}{m^3} \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} \cdot \frac{4}{3} \pi \cdot (0,1 m)^3 = 41,09 N$.

$F_A^{Holz} = 999,97 \frac{kg}{m^3} \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} \cdot \frac{4}{3} \pi \cdot (0,1 m)^3 = 41,09 N$.

Die Auftriebskraft ist, wie bereits oben beschrieben, eine senkrecht nach oben gerichtete Kraft (da Kraft auf Unterseite größer als Kraft auf Oberseite). Da hier von einer positiv nach oben gerichteten z-Achse ausgegangen wird, ist $F_A$ positiv.

Beide Auftriebskräfte sind gleich, da hier nur die Dichte des Wassers berücksichtigt wird und das Volumen der Kugeln. Da beide dasselbe Volumen aufweisen, sind auch die Auftriebskräfte gleich. Allerdings besitzt die Kugel aus Holz eine viel geringere Dichte als die Kugel aus Stahl. Mittels der Resultierenden kann nun bestimmt werden, was genau mit den Kugeln im Wasser passiert.

$F_{res} = (\rho_{Fluid} - \rho_{Körper}) g \; V_{Körper}$.

$F_{res}^{Stahl} = (999,97 \frac{kg}{m^3} - 7.850 \frac{kg}{m^3}) \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot (0,1 m)^3 = -281,48 N$.

Das negative Vorzeichen bedeutet, dass die resultierende Kraft nach unten gerichtet ist. Das wiederum bedeutet, dass sich die Kugel abwärts bewegt. 

$F_{res}^{Holz} = (999,97 \frac{kg}{m^3} - 800 \frac{kg}{m^3}) \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot (0,1 m)^3 = 8,22 N$.

Das positive Vorzeichen bedeutet, dass die resultierende Kraft nach oben gerichtet ist. Das wiederum bedeutet, dass sich die Kugel aufwärts bewegt. 

Die Eintauchtiefe hat hier keinen Einfluss, solange die Kugel komplett eingetaucht ist. 

Video: Hydrostatische Auftriebskraft