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Es ist bekannt, dass ein Körper innerhalb einer Flüssigkeit (z.B. Wasser) weniger Gewichtskraft aufweist, als befände sich der Körper "an Land". Messen kann man das z.B. ganz einfach mittels eines Federkraftmessers. Man misst den Körper "an Land", taucht diesen dann ins Wasser ein und misst nochmals die Gewichtskraft. Man wird erkennen, dass der Körper im Wasser weniger wiegt. Das bedeutet also, dass in der betrachteten Flüssigkeit eine Kraft der Gewichtskraft entgegenwirken muss. Diese Kraft, welche der Gewichtskraft entgegen wirkt, bezeichnet man als Auftriebskraft $F_A$. Der Auftrieb hingegen ist die Erscheinung selbst.
Der Grund für die Entstehung von Auftrieb ist der hydrostatische Druck (auch Schweredruck), welcher in verschiedenen Tiefen unterschiedlich groß ist (je tiefer desto größer).
Den Auftrieb kann man sich herleiten. Da der Druck in geringerer Tiefe $h_1$ kleiner ist, als in größerer Tiefe $h_2$, gilt zunächst:
$p_1 < p_2$
Der Querschnitt welcher betrachtet wird, sei konstant (z.B. Balken mit konstantem Querschnitt wird ins Wasser getaucht):
$A_1 = A_2 = A$.
Der Druck berechnet sich durch die Kraft, welche senkrecht auf die Querschnittsfläche wirkt:
$p = \frac{F}{A}$.
Umgestellt nach der Kraft $F$:
$F = p \cdot A$.
In unterschiedlicher Tiefe existieren unterschiedlich große Kräfte, sodass gilt:
$p_1 \cdot A < p_2 \cdot A$
$F_1 < F_2$
Die Auftriebskraft ist die Summe aus den beiden Kräften, welche vertikal von oben und vertikal von unten auf den Körper drücken. Da diese beiden Kräfte entgegengesetzt gerichtet sind, ergibt sich:
$F_A = F_2 - F_1$. (vertikal nach oben gerichtet wird immer positiv gewertet)
Gesetz von Archimedes
Es existiert ein Zusammenhang zwischen Auftriebskraft und verdrängter Flüssigkeit, welcher durch das archimedische Gesetz beschrieben. Es lautet:
Merke
Gesetz von Archimedes
Die auf den Körper wirkende Auftriebskraft ist gleich der Gewichtskraft der von ihm verdrängten Flüssigkeitsmenge.
Die Auftriebskraft entspricht also der Gewichtskraft der verdrängten Flüssigkeit (Archimedisches Prinzip):
$F_A = G_{fluid}$
Die Gewichtskraft der Flüssigkeitsmenge $G_{fluid}$, welche von dem Körper verdrängt wird, lässt sich berechnen durch:
Methode
$F_A = G_{fluid} = \rho_{Fluid} \; g \; V_{Körper}$ Auftriebskraft
Die Auftriebskraft $F_A$ berücksichtigt also die Dichte der Flüssigkeit $\rho_{Fluid}$ , die Fallbeschleunigung $g = 9,81 \frac{m}{s^2}$ und das Volumen der verdrängten Flüssigkeitsmenge $V_{Körper}$ (= Volumen des Körpers).
Aus der obigen Gleichung kann man schlussfolgern, dass die Auftriebskraft an einem Körper umso größer ist, je größer sein eingetauchtes Volumen. Gleichzeitig verdrängt der eingetauchte Körper mit seinem Volumen ein genauso großes Volumen an Flüssigkeit.
Merke
Der Auftrieb führt dazu, dass der Körper scheinbar einen Gewichtsverlust erleidet. Sein effektives Gewicht beträgt dann nur noch
$G_{Körper} - F_A$
mit:
Methode
$G_{Körper} = \rho_{Körper} \cdot g \cdot V_{Körper}$
bzw.
$G_{Körper} = m g$
mit
$m$ Masse des Körpers
Es kann also festgehalten werden, dass ein Körper, welcher in ein Fluid getaucht wird, einen Auftrieb erfährt der dazu führt, dass das effektive Gewicht des Körpers abnimmt. Die Auftriebskraft ist die Gewichtskraft des verdrängten Wasservolumens (nicht die Gewichtskraft des Körpers).
Sinken, steigen, schweben
Als nächstes stellt sich die Frage, ob der eingetauchte Körper sinkt, steigt oder sich im Gleichgewicht befindet (schwebt). Hierfür müssen wir die Gewichtskraft des Körpers mit der Auftriebskraft vergleichen:
Methode
$F_{res} = F_A - G_{Körper}$ Resultierende Kraft
Es gilt:
$F_A = \rho_{fluid} \cdot g \cdot V_{Körper}$
$G_{Körper} = \rho_{Körper} \cdot g \cdot V_{Körper} $ bzw. $G_{Körper} = m g$
Es können sich aus der obigen Formel drei Fälle ergeben:
Fall 1: $G_{Körper} < F_A$
Die resultierende Kraft $F_{res}$ weist vertikal nach oben. Der Körper bewegt sich aufwärts.
Fall 2: $G_{Körper} > F_A$
Die resultierende Kraft $F_{res}$ weist vertikal nach unten. Der Körper bewegt sich abwärts.
Fall 3: $ G_{Körper} = F_A$
Die resultierende Kraft ist null und der Körper bleibt in seiner Position (er schwebt). Problematisch sind in dieser Situation schon kleine Änderungen des statischen Drucks, welche dazu führen, dass sich der Körper auf und ab bewegt.
Zusammenfassung Auftrieb
Wird ein Körper in eine Flüssigkeit getaucht, so ist der Druck an der Unterseite größer als der Druck an der Oberseite. Daraus folgt eine vertikal nach oben gerichtete Auftriebskraft des Körpers. Diese Auftriebskraft entspricht der Gewichtskraft der verdrängten Flüssigkeit (Gesetz von Archimedes). Ist die durchschnittliche Dichte des Körpers kleiner als die Dichte der Flüssigkeit, so überwiegt die Auftriebskraft gegenüber der Gewichtskraft. Wirken dann nicht noch andere Kräfte auf ihn ein (z.b. Horizontalkräfte), steigt der Körper nach oben und schwimmt. Ist seine Dichte hingegen größer als die der Flüssigkeit, sinkt der Körper nach unten. Ist die Dichte hingegen gleich, so verharrt der Körper in seiner Position.
Beispiel: Auftriebskraft und resultierende Kraft
Beispiel
Gegeben seien zwei Kugeln, welche beide in Wasser eingetaucht werden. Eine Kugel ist aus Stahl mit einer Dichte von $\rho = 7,85 kg/dm^3$, die andere Kugel aus Holz mit einer Dichte von $\rho = 0,8 kg/dm^3$. Die beiden Kugeln haben einen Durchmesser von 200 mm. Wasser hat eine Dichte von $\rho = 999,97 kg/m^3$.
Wie groß sind die Auftriebskräfte der beiden Kugeln?
Wie groß ist die resultierende Kraft der beiden Kugeln? Was genau passiert mit den Kugeln?
Zunächst einmal werden die Auftriebskräfte der beiden Kugeln bestimmt. Die Auftriebskraft ist gleich der Gewichtskraft der verdrängten Wassermenge durch die Kugeln. Das bedeutet also, dass die Dichte des Wassers, das Volumen des Körpers (= verdrängtes Wasservolumen) und die Fallbeschleunigung betrachtet werden:
$F_A = \rho_{Fluid} \; g \; V_{Körper}$
$F_A^{Stahl} = 999,97 \frac{kg}{m^3} \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} \cdot \frac{4}{3} \pi \cdot (0,1 m)^3 = 41,09 N$.
$F_A^{Holz} = 999,97 \frac{kg}{m^3} \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} \cdot \frac{4}{3} \pi \cdot (0,1 m)^3 = 41,09 N$.
Die Auftriebskraft ist, wie bereits oben beschrieben, eine senkrecht nach oben gerichtete Kraft (da Kraft auf Unterseite größer als Kraft auf Oberseite). Da hier von einer positiv nach oben gerichteten z-Achse ausgegangen wird, ist $F_A$ positiv.
Beide Auftriebskräfte sind gleich, da hier nur die Dichte des Wassers berücksichtigt wird und das Volumen der Kugeln. Da beide dasselbe Volumen aufweisen, sind auch die Auftriebskräfte gleich. Allerdings besitzt die Kugel aus Holz eine viel geringere Dichte als die Kugel aus Stahl. Mittels der Resultierenden kann nun bestimmt werden, was genau mit den Kugeln im Wasser passiert.
$F_{res} = (\rho_{Fluid} - \rho_{Körper}) g \; V_{Körper}$.
$F_{res}^{Stahl} = (999,97 \frac{kg}{m^3} - 7.850 \frac{kg}{m^3}) \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot (0,1 m)^3 = -281,48 N$.
Das negative Vorzeichen bedeutet, dass die resultierende Kraft nach unten gerichtet ist. Das wiederum bedeutet, dass sich die Kugel abwärts bewegt.
$F_{res}^{Holz} = (999,97 \frac{kg}{m^3} - 800 \frac{kg}{m^3}) \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot (0,1 m)^3 = 8,22 N$.
Das positive Vorzeichen bedeutet, dass die resultierende Kraft nach oben gerichtet ist. Das wiederum bedeutet, dass sich die Kugel aufwärts bewegt.
Die Eintauchtiefe hat hier keinen Einfluss, solange die Kugel komplett eingetaucht ist.
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