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Mechanische Verfahrenstechnik - Massenbilanz und Kräftebilanz

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Mechanische Verfahrenstechnik

Massenbilanz und Kräftebilanz

Inhaltsverzeichnis

Nun betrachten wir im Rahmen der reibungsbehafteten Strömung die Massenbilanz und die Kräftebilanz.

Massenbilanz

Die Massenbilanz kann genutzt werden um geometrische Größen in einer Rohrströmung zu bestimmen. In der nachfolgenden Abbildung sind diese dargestellt:

Massenbilanz, Geometrische Größen der Rohrströmung
Massenbilanz, Geometrische Größen der Rohrströmung

 

Methode

Hier klicken zum Ausklappen$\frac{dm}{dt} = \rho_1 \cdot A_1 \cdot w_1 = \rho_2 \cdot A_2 \cdot w_2 = const.$

Kennzahlen: $ \rho $ = Fluiddichte, $ A $ = Querschnittsfläche des Rohrs, $ w $ = Fluidgeschwindigkeit.

Kräftebilanz

Die Kräftebilanz ist eine vereinfachte Navier-Stokes-Gleichung und bezweckt die Untersuchung der einzelnen Kräfte und der Verhältnisse in derer zueinander stehen. Betrachtet werden in dieser Bilanz:

1. Trägheitskraft $ \rightarrow \rho \cdot w \cdot \frac{\delta w}{\delta l} $
2. Druckkraft $ \rightarrow \frac{\delta p}{\delta l} $
3. Schwerkraft $ \rightarrow \rho \cdot g \cdot \frac{\delta z}{\delta l} $
4. Reibungskraft $ \rightarrow \eta \cdot \frac{\delta^2 w}{\delta r^2} $

Fasst man nun alle Kräfte (1-4) in einer Bilanz zusammen, dann sieht diese wie folgt aus:

Methode

Hier klicken zum AusklappenGesamtbilanz: $ rho \cdot w \cdot \frac{\delta w}{\delta l} = - \frac{\delta p}{\delta l} - \rho \cdot g \cdot \frac{\delta z}{\delta l} + \eta \cdot \frac{\delta^2 w}{\delta r^2} $

Kennzahlen: $ l $ = Elementlänge, $ p $ = Druck auf das Element,

Bestimmung relevanter Größen

Setzen wir nun die einzelnen Kräfte in ein Verhältnis, so können wir folgenden Größen ermitteln:

$ Eu = \frac{\text{Druckkraft}}{\text{Trägheitskraft}} \rightarrow $ Euler-Zahl

$ Fr = \frac{\text{Trägheitskraft}}{\text{Schwerkraft}} \rightarrow $ Froude-Zahl

$ Re = \frac{\text{Trägheitskraft}}{\text{Reibungskraft}} \rightarrow $ Reynolds-Zahl

$ Ma = \frac{\text{Trägheitskraft}}{\text{Druckkraft}} \rightarrow $ Mach-Zahl.