Laminare ausgebildete Kreisrohrströmung

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Kräftebilanz eines Zylinderelements:
Hagen-Poiseuille-Gesetz und Widerstandsgesetz

Kennzeichnend ist hier, dass ein newtonsches Medium vorliegt und die Strömung stationär verläuft. Das Rohr hat einen horizontalen Verlauf.

Für uns ist besonders der Druckverlust und der Geschwindigkeitsverlauf von Interesse. Beide Größen ermitteln wir aus der Kräftebilanz. Dabei betrachten wir nicht das gesamte System, sondern lediglich ein Volumenelement:

KrÃƒÂ¤ftebilanz am Volumenelement

Kräftebilanz eines Zylinderelements:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen$ \frac{ - \pi r^2 \cdot \Delta p - | \tau | \cdot 2 \pi r \cdot l = 0 $

es gilt in diesem Zusammenhang: $ | \tau | = - \eta \cdot \frac{dw}{dr} $ und $ \Delta p = p_1 – p_2 $.

Wenn du nun einsetzt und integrierst, erhältst du:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen$ w(r) = \frac{\Delta p}{I} \cdot \frac{R^2}{4 \eta} \cdot ( 1 - \frac{r^2}{R^2} ) $

Die Kerngeschwindigkeit erreicht bei r = 0 ihr Maximum und wird ausgehend von der vorherigen Gleichung bestimmt mit:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen$ w_{max} = \frac{\Delta p}{l} \cdot {R^2}{4 \eta} $

Hagen-Poiseuille-Gesetz und Widerstandsgesetz

Hagen-Poiseuille-Gesetz

Den Volumenstrom kannst du hingegen berechnen mit dem Hagen-Poiseuille-Gesetz:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen$ \dot{V} = \int \int w(A) \cdot dA = \int \frac{ Delta p}{l} \cdot {R^2}{4 \eta} \cdot (1 - \frac{r^2}{R^2}) \cdot 2 \pi r \cdot dr $

$ \dot{V} = \frac{\pi}{8} \cdot \frac{\Delta p}{l} \cdot \frac{R^4}{\eta} \rightarrow $ Hagen-Pouseuille-Gesetz

Mittlere Geschwindigkeit

Mit diesen beiden Gleichung kannst du nun die mittlere Geschwindigkeit bestimmen:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen$ w_m = \frac{\dot{V}}{A} = \frac{\frac{\pi}{8} \cdot \frac{\Delta p}{l} \cdot \frac{R^4}{\eta}}{\pi \cdot R^2}$

Kürzen und vereinfachen ergibt letztlich:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen$ w_m = \frac{\Delta p}{l} \cdot \frac{R^2}{8\eta} = \frac{w_{max}}{2} $

Widerstandsgesetz

Möchten wir jetzt noch die laminare Rohrströmung beschreiben, so eignet sich besonders die Widerstandszahl $ \lambda $ dazu. Die ist dimensionslos und taucht im der Strömungslehre häufig auf.

Methode

Hier klicken zum Ausklappen$ \lambda = \frac{64}{Re} $ Widerstandsgesetz

$\lambda = \frac{\frac{\Delta p}{l} \cdot d}{\frac{\rho_f}{2} \cdot w^2_m } $

Diese Gesetzmäßigkeit hat Bestand und wurde auch nicht anders in Experimenten ermittelt.