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Operations Research 2 - Festlegung der oberen/unteren Schranke, Prioritätenfestlegung

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Operations Research 2

Festlegung der oberen/unteren Schranke, Prioritätenfestlegung

Es wird zunächst das Branch-and-Bound Verfahren für ein Maximierungsproblem betrachtet. Dabei wird von dem gegebenen ganzzahligen Maximierungsproblem ausgegangen. Das Maximierungsproblem muss in der folgenden Form vorliegen oder in diese Form überführt werden:

Methode

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- Das Problem muss in Standardform vorliegen (Maximierungsproblem, $\le$-Nebenbedingung, Nichtnegativitätsbedingung)

- Die Ganzzahligkeitsbedingung muss gegeben sein. 

Es müssen zunächst bestimmte Vorüberlegungen getroffen werden bevor mit der Aufstellung des Entscheidungsbaum begonnen werden kann. Diese seien im Folgenden aufgeführt.

Hierzu wird das folgende ganzzahlige Optimierungsproblem herangezogen:

$f(x_1, x_2) = 2x_1 +  x_2$    $\rightarrow$   max!

u.d.N.

(1) $3x_1 + 2x_2 \le 6 $   

(2) $5x_1 + 2 x_2 \le 8$    


$x_1, x_2 \ge 0$    und ganzzahlig


Das Problem liegt in der Standardform vor und die Ganzzahligkeitsbedingung ist gegeben. 

Obere Schranke bestimmen

Es wird zunächst eine obere Schranke für beide Variablen bestimmt. Eine obere Schranke bedeutet, dass die Variablen maximal diesen Wert annehmen dürfen. Dies geschieht, indem die rechte Seite der Nebenbedingungen durch die Koeffizienten der Nebenbedingungen geteilt werden. Es wird dann aus jeder Variable $x_j$ der minimale abgerundete Quotient gewählt:

Methode

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$x_{j,max} = min [\frac{b_j}{a_{ij}}]$ abgerundet

Befindet sich in einer Zeile mindestes eins Koeffizient der kleiner als Null ist, so wird die gesamte Zeile nicht berücksichtigt.


Die obere Schranke für die beiden Variablen $x_1$ und $x_2$ sind:

$x_1$$x_2$
$6/3 = 2$$6/2 = 3$
$8/5 = 1,6$$8/2 = 4$
$x_{1,max} = 1$$x_{2,max} = 3$

Die rechte Seite ist durch die Koeffizienten der Nebenbedingungen geteilt worden. Dabei wird der minimale Wert (abgerundet) als obere Schranke verwendet. Demnach besitzt $x_1$ die obere Schranke $x_{1,max} = 1$ und die Variable $x_2$ die obere Schranke $x_{2,max} = 3$. Als nächstes wird festgelegt, mit welcher Variable begonnen wird. Dazu wird die Prioritätenreihenfolge herangezogen.

Prioritätenfestlegung

Nachdem die Schranken bestimmt worden sind, wird eine Variable $x_j$ ausgewählt. Dabei geht man nach der folgenden Reihenfolge vor:

Methode

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1. $\min [a_{ij} < 0]$

Auswahl des minimalen negativen Koeffizienten der Nebenbedingungen. Befindet sich dieser z.B. bei $x_1$, so wird mit $x_1$ begonnen.

Methode

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2. $\min [c_j < 0]$

Auswahl des minimalen Koeffizienten in der Zielfunktion. Befindet sich dieser z.B. bei $x_1$, so wird mit $x_1$ begonnen.

Methode

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3. $\max [c_j > 0]$

Auswahl des maximalen Koeffizienten in der Zielfunktion. Befindet sich dieser z.B. bei $x_1$, so wird mit $x_1$ begonnen.

Methode

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4. $\max [\frac{c_j}{\sum a_{ij}}]$

Auswahl des maximalen Quotienten von Zielfunktionskoeffizient und der Summe der Koeffizienten der Nebenbedingungen. Befindet sich dieser z.B. bei $x_1$, so wird mit $x_1$ begonnen.

Ist die 1. Priorität nicht möglich, weil zum Beispiel keine negativen Koeffizienten in der Nebenbedingung vorhanden sind oder aber für beide Entscheidungsvariablen gleich sind, geht man zur 2. Priorität über usw.

Für das hier angegebene Problem wird die 3. Priorität herangezogen, da weder negative Koeffizienten in der Nebenbedingung vorhanden sind noch in der Zielfunktion.

Es wird dafür der maximale Koeffizient in der Zielfunktion gewählt:

3. $\max [2, 1] = 2$

Der maximale Wert von $2$ gilt für die Variable $x_1$. Die oberste Ebene im Entscheidungsbaum wird mit $x_1$ belegt. 

Methode

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Die 4. Priorität (falls die 3. nicht möglich wäre) würde wie folgt durchgeführt werden:

$\frac{2}{3 + 5} = 0,25$

$\frac{1}{2 + 2} = 0,25$

In diesem Beispiel wäre die Priorität 4 aber nicht anwendbar, da beide Werte gleich sind.

Untere Schranken für Restriktionen bestimmen

Es wird nun also mit $x_1$ begonnen. Zunächst müssen die unteren Schranken der Restriktionen bestimmt werden. Die unteren Schranken für die Restriktionen geben an, wie viel Kapazität verbraucht wird, wenn nur $x_1$ hergestellt würde ohne Berücksichtigung von $x_2$. Dies ist sinvoll um zu entscheiden, ob ein Ast überhaupt verzweigt wird. Für die Restriktionen im 1. Ast wird dafür zunächst $x_1$ mit der oberen Schranke eingesetzt, wobei $x_2 = 0$ gesetzt wird:

$R_1 = 3 \cdot 1 + 2 \cdot 0 = 3 < 6 $   

$R_2 = 5 \cdot 1 + 2 \cdot 0 = 5 < 8$  

Es ist deutlich zu erkennen, dass noch ausreichend Kapazitäten vorhanden sind, um auch $x_2$ zu produzieren. Deswegen wird der 1. Ast in jedem Fall nach unten verzweigt. Die Verzweigung soll dann zeigen, wieviele Einheiten von $x_2$ produziert werden können ohne dass die Kapazitäten überschritten werden. Ziel ist dabei immer die Maximierung der Zielfunktion (Maximierungsproblem).

Im folgenden Abschnitt wird nun gezeigt, wie der Entscheidungsbaum aufgestellt wird.