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Operations Research 2 - Standardform: Maximierungsproblem

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Operations Research 2

Standardform: Maximierungsproblem

Im vorangegangenen Abschnitt ist zunächst das allgemeine lineare Programm aufgestellt worden. Hierbei sind alle Nebenbedingungen (mit Ungleichungen $\le$, $\ge$ sowie ohne Ungleichungen $=$) berücksichtigt worden. Bei der Lösung von linearen Optimierungsmodellen, muss dieses allerdings in Standardform gegegeben sein. Von der Standardform ist die Rede, wenn ein Maximierungsproblem vorliegt (Maximierung der Zielfunktion), die Nebenbedingungen die Ungleichungen $\le$ enthalten und die Nichtnegativitätsbedingung gegeben ist.

Ein lineares Programm in Standardform ist die Maximierung einer linearen Funktion:

Methode

             maximiere    $f(x_1, x_2, ... , x_n) = c x_1 + c x_2 + ... c x_n = \sum_{j = 1}^n c_j x_j$ 

u.d.N (unter den Nebenbedingungen)

$a_{ij} x_j + ... + a_{in} x_n \le b_i$                 $i = 1, ..., m$  und   $j = 1, ..., n$

$x_i \ge 0$                          $j = 1, ..., n$



Mittels Matrixschreibweise lässt sich die Standardform kompakter schreiben zu:

Methode

            maximiere $f(x) = c^Tx$

u.d.N.


$Ax \le b$

$x \ge 0$    

Diese Standardform wird z.B. für die graphische Lösung des linearen Optimierungsproblems benötigt.

Merke

Die Standardform ist gegeben, wenn

- ein Maximierungsproblem,

- kleiner/gleich-Nebenbedingungen und

- die Nichtnegativitästbedingungen für alle Variablen vorliegen.

Anwendungsbeispiel: Maximierungsproblem

Beispiel

Ein Unternehmen produziert und verkauft an die örtlichen Eisdielen zwei Sorten Eis: Vanille ($x_1$) und Schokolade ($x_2$). Die variablen Kosten betragen für $x_1 = 20 €/kg$ und für $x_2 = 30 €/kg$. Der Verkaufspreis beträgt für $x_1 = 50 €/kg$ und für $x_2 = 70 € / kg$. Es können pro Stunde auf der Maschine insgesamt 15 kg Eis hergestellt werden. Der Energieaufwand beträgt für $x_1 = 1 kWh/kg$ und für $x_2 = 2 kWh/kg$. Insgesamt stehen pro Stunde 27 kWh zur Verfügung. Es können am Markt von $x_1 = 8 kg$ und von $x_2 = 10 kg$ abgesetzt werden.

Der Deckungsbeitrag des Unternehmens soll maximiert werden!

Stellen Sie das lineare Optimierungsproblem auf!

Das lineare Maximierungsproblem wird nun unter Beachtung der Nebenbedingungen (Restriktionen) aufgestellt. Die Zielfunktion entspricht der Deckungsbeitragsfunktion und soll maximiert werden:

Deckungsbeirtag:   $f(x_1, x_2) = (50 - 20)x_1 + (70 - 30) x_2$ 


Maximierungsproblem:


$f(x_1, x_2) = 30 x_1 + 40 x_2$    $\rightarrow$   max!

u.d.N.

$x_1 + x_2 \le 15 $            Maschinenrestriktion

$x_1 + 2 x_2 \le 27$         Energierestriktion

$x_1 \le 8$                       Absatzrestriktion 1

$x_2 \le 10$                     Absatzrestrinktion 2


$x_1, x_2 \ge 0$  

Das obige Optimierungsproblem ist in der Standardform gegeben. Die Entscheidungsvariablen $x_1$ und $x_2$ seien die stündlich herzustellenden Mengen in Kilogramm. Das Problem kann nun z.B. grafisch gelöst werden. Grafische Lösungen sind nur bei zwei Entscheidungsvariablen möglich. Die grafische Lösung des Maximierungsproblems wird im folgenden Abschnitt erläutert.