ingenieurkurse
online lernen

Besser lernen mit Online-Kursen

NEU! Jetzt online lernen:
Operations Research 2
Den Kurs kaufen für:
einmalig 39,00 €
Zur Kasse
Ganzzahlige Optimierung > Branch-and-Bound-Verfahren > Branch-and-Bound: Minimierungsprobleme:

Branch-and-Bound am Minimierungsproblem (optimale Lösung)

WebinarTerminankündigung:
 Am 20.12.2016 (ab 16:00 Uhr) findet unser nächstes Webinar statt.
Gratis-Webinar (Operations Research) Primaler Simplexalgorithmus
- Das 60-minütige Gratis-Webinar behandelt den primalen Simplexalgorithmus.
[weitere Informationen] [Terminübersicht]

Es soll im folgenden das Branch-and-Bound Verfahren anhand eines ganzzahligen Minimierungsproblems dargestellt werden. Es wird hier zur Festlegung der Schranken nicht das Ausgangsproblem $P_0$ betrachtet, sondern das angepasste Problem $P'_0$. Dazu wird für das gegebene ganzzahlige Minimierungsproblem die Ganzzahligkeitsbedingung vernachlässigt und zunächst mittels Simplex-Algorithmus oder grafisch die optimale Lösung für jedes Teilproblem $P_i$ ermittelt. Diese ermittelte optimale Lösung wird dann in die Zielfunktion eingesetzt und der optimale Zielfunktionswert bestimmt. 

Bestimmung der oberen Schranke für den 0. Ast

Das angepasste Minimierungsproblem muss zunächst in die Standardform (Maximierungsproblem, $\le$-Nebenbedingungen, Nichtnegativitätsbedingung) umgeformt werden. Danach wird es in die Normalform überführt. Sind auf der rechten Seite keine negativen Werte gegeben, so kann sofort der primale Simplexalgorithmus angewandt werden um eine optimale Lösung zu erhalten. Sind negative Werte auf der rechten Seite gegeben, so wird zunächst der duale Simplexalgorithmus angewandt um eine zulässige Lösung zu erhalten. Danach kann der primale Simplexalgorithmus angewandt werden. Die ermittelte optimale Lösung wird dann in die Zielfunktion eingesetzt. 

Merke

Alternativ kann die optimale Lösung auch - ohne Umformung in die Standardform- grafisch ermittelt werden.

Der ermittelte optimale Zielfunktionswert wird dann als untere Schranke $\underline{F}_0$ gewählt. 

Zusätzlich zu der lokalen unteren Schranke muss noch eine obere Schranke für den 0. Ast betrachtet werden, welche nicht überschritten werden darf. Diese ist bei Minimierungsproblemen gegeben durch $\overline{F} = \infty$.

Das Problem wird dann in zwei Teilprobleme $P_1$ und $P_2$ verzweigt. Begonnen wird mit derjenigen Variablen, die den größten optimalen Wert aufweist. 

Die resultierenden Teilprobleme $P_i$ müssen dann separat betrachtet werden und wieder mittels Simplexalgorithmus oder grafisch die optimale Lösung $\underline{F}_i$ unter Vernachlässigung der Ganzzahigkeitsbedingung bestimmt werden, indem die verzweigten Nebenbedingungen eingesetzt werden. Ein Teilproblem braucht nicht weiter betrachtet werden, wenn gilt:

Methode

Fall a: $\underline{F}_i \ge \overline{F}$. Die ermittelte optimale Lösung (durch Simplex bei Weglassen der Ganzzahligkeitsbedingung) ist größer als die beste zulässige ganzzahlige Lösung (obere Schranke des Teilsproblems).

Fall b: $\underline{F}_i < \overline{F}$. Die ermittelte optimale Lösung des Teilproblems ist kleiner als die bereits gefunde beste zulässige ganzzahlige Lösung. Diese Lösung ist zudem ganzzahlig und ebenfalls zulässig. Es wird

$\overline{F} := \underline{F}_i $

gesetzt. Es existiert demnach eine neue obere Schranke, welche die Ganzzahligkeitsbedingung erfüllt und zulässig ist.

Fall c: Es existiert keine zulässige Lösung.

Das Branch-and-Bound-Verfahren wird im folgenden Abschnitt anhand eines Beispiels dargestellt.

Vorstellung des Online-Kurses Operations Research 2Operations Research 2
Dieser Inhalt ist Bestandteil des Online-Kurses

Operations Research 2

Ingenieurkurse (ingenieurkurse.de)
Diese Themen werden im Kurs behandelt:

[Bitte auf Kapitelüberschriften klicken, um Unterthemen anzuzeigen]

  • Operations Research 2: Überblick
    • Einleitung zu Operations Research 2: Überblick
  • Grundlagen des Operations Research 1
    • Einleitung zu Grundlagen des Operations Research 1
    • Definition: Lineares Programm
    • Standardform: Maximierungsproblem
      • Einleitung zu Standardform: Maximierungsproblem
      • Grafische Lösung des Maximierungsproblems
    • Primaler Simplexalgorithmus
      • Einleitung zu Primaler Simplexalgorithmus
      • Lösung des Maximierungsproblems mittels primalen Simplexalgorithmus
    • Dualer Simplexalgorithmus
    • Umformung in die Standardform
    • Umformung in die Normalform
  • Ganzzahlige Optimierung
    • Einleitung zu Ganzzahlige Optimierung
    • Grafisches Verfahren
    • Verfahren von Gomory
      • Einleitung zu Verfahren von Gomory
      • Beispiel: Verfahren von Gomory
    • Branch-and-Bound-Verfahren
      • Einleitung zu Branch-and-Bound-Verfahren
      • Branch-and-Bound: Maximierungsprobleme
        • Einleitung zu Branch-and-Bound: Maximierungsprobleme
        • Branch-and-Bound am Maximierungsproblem
          • Einleitung zu Branch-and-Bound am Maximierungsproblem
          • Festlegung der oberen/unteren Schranke, Prioritätenfestlegung
          • Entscheidungsbaum für das Maximierungsproblem
          • Beispiel: Branch and Bound am Maximierungsproblem
        • Branch-and-Bound am Maximierungsproblem (optimale Lösung)
          • Einleitung zu Branch-and-Bound am Maximierungsproblem (optimale Lösung)
          • Beispiel: Branch and Bound am Maximierungsproblem (optimale Lösung)
      • Branch-and-Bound: Minimierungsprobleme
        • Einleitung zu Branch-and-Bound: Minimierungsprobleme
        • Branch-and-Bound am Minimierungsproblem
          • Einleitung zu Branch-and-Bound am Minimierungsproblem
          • Festlegung der unteren/oberen Schranke, Prioritätenfestlegung
          • Entscheidungsbaum für das Minimierungsproblem
          • Beispiel: Branch and Bound am Minimierungsproblem
        • Branch-and-Bound am Minimierungsproblem (optimale Lösung)
          • Einleitung zu Branch-and-Bound am Minimierungsproblem (optimale Lösung)
          • Beispiel: Branch and Bound am Minimierungsproblem (optimale Lösung) 1
          • Beispiel: Branch and Bound am Minimierungsproblem (optimale Lösung) 2
          • Beispiel: Branch and Bound am Minimierungsproblem (optimale Lösung) 3
      • Branch-and-Bound: Knapsack-Problem
      • Branch-and-Bound: Knapsack-Problem (Alternative)
    • Verfahren der vorsichtigen Annäherung
  • Kombinatorische Optimierung
    • Einleitung zu Kombinatorische Optimierung
    • Traveling-Salesman-Problem
      • Einleitung zu Traveling-Salesman-Problem
      • Vollständige Enumeration
        • Einleitung zu Vollständige Enumeration
        • Beispiel: Vollständige Enumeration (Reduktion der Matrix)
        • Beispiel: Vollständige Enumeration (Anwendung des Verfahrens)
      • Heuristische Verfahren
        • Einleitung zu Heuristische Verfahren
        • Verfahren des besten Nachfolgers
          • Einleitung zu Verfahren des besten Nachfolgers
          • Verfahren des besten Nachfolgers (Ausgangsmatrix)
          • Verfahren des besten Nachfolgers (reduzierte Matrix)
        • Verfahren der sukzessiven Einbeziehung von Stationen
          • Einleitung zu Verfahren der sukzessiven Einbeziehung von Stationen
          • Einbeziehung von Stationen (Ausgangsmatrix)
      • Entscheidungsbaumverfahren
        • Einleitung zu Entscheidungsbaumverfahren
        • Begrenzte Enumeration
        • Branch-and-Bound Verfahren am Traveling-Salesman-Problem
          • Einleitung zu Branch-and-Bound Verfahren am Traveling-Salesman-Problem
          • Branch-and-Bound (TSP): 1. Iteration
          • Branch-and-Bound (TSP): Weitere Iterationen
    • Fertigungsablaufplanung
      • Einleitung zu Fertigungsablaufplanung
      • Flow-Shop-Probleme
      • Johnson-Algorithmus
  • Nichtlineare Optimierung
    • Grundlagen der nichtlinearen Optimierung
      • Einleitung zu Grundlagen der nichtlinearen Optimierung
      • Konkave und konvexe Funktionen
        • Einleitung zu Konkave und konvexe Funktionen
        • Beispiel: Nachweis konvexer/konkaver Funktionen auf direktem Weg
        • Beispiel: Nachweis konvexer/konkaver Funktionen über Differenzierbarkeit
    • Nichtlineare Optimierung unter Nebenbedingungen
      • Einleitung zu Nichtlineare Optimierung unter Nebenbedingungen
      • Methode der zulässigen Richtung
        • Einleitung zu Methode der zulässigen Richtung
        • Beispiel: Methode der zulässigen Richtungen (1. Iteration)
        • Beispiel: Methode der zulässigen Richtungen (2. Iteration)
        • Beispiel: Methode der zulässigen Richtungen (3. Iteration)
  • 61
  • 7
  • 25
  • 64
einmalig 39,00
umsatzsteuerbefreit gem. § 4 Nr. 21 a bb) UStG
Online-Kurs Top AngebotTrusted Shop

Unsere Nutzer sagen:

  • Phillipp Grünewald

    Phillipp Grünewald

    "ingenieurkurse.de hat mir besonders bei den Mathe-Themen geholfen. Super Erklärungen!"
  • Martina Pfeiffer

    Martina Pfeiffer

    "Klasse für den Einstieg ins Ingenieurstudium."
  • Marcel Eberhardt

    Marcel Eberhardt

    "Ich mache mir dank euch keine Sorgen für die Prüfungen. Danke!"

NEU! Sichere dir jetzt die perfekte Prüfungsvorbereitung und spare 10% bei deiner Kursbuchung!

10% Coupon: lernen10

Zu den Online-Kursen