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Operations Research 2 - Beispiel: Branch and Bound am Minimierungsproblem (optimale Lösung) 3

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Operations Research 2

Beispiel: Branch and Bound am Minimierungsproblem (optimale Lösung) 3

Für das grafische Verfahren wird das Ausgangsproblem herangezogen:

$f(x_1, x_2) = 2x_1 +  x_2$    $\rightarrow$   min!

u.d.N.

(1) $4x_1 +4 x_2 \ge 10 $   

(2) $2x_1 +11 x_2 \ge 11$    

(3) $-4x_1 + 2x_2  \le 1$


$x_1, x_2 \ge 0$    und ganzzahlig


Die Grafik für das Ausgangsproblem ergibt sich wie folgt:

In der obigen Grafik sind die Restriktionen (1) bis (3) eingezeichnet. Die Pfeile geben an, in welche Richtung die Restriktionen gelten. Die Restriktion (1) gilt nach oben (da $\ge$) sowie auch die Restriktion (2). Die Restriktion (3) hingegen gilt nach unten ($\le$). Der zulässige Bereich ist mit den grünen Linien gekennzeichnet. Die rote gestrichelte Linie ist die Zielfunktionsgerade, welche parallel zu sich selbst nach unten verschoben werden muss (Minimierungsproblem) bis diese gerade noch im zulässigen Bereich liegt. Der Punkt $(0,67/1,83)$ ist die optimale Lösung unter Vernachlässigung der Ganzzahligkeitsbedingung. 

Es wird nun als nächstes das Teilproblem $P_1$ betrachtet und mittels der Grafik die optimale Lösung für das angepasste Teilproblem $P'_2$ bestimmt:

Es ist nun zusätzlich die Restriktion $x_2 \ge 2$ eingefügt worden. Der zulässige Bereich verschiebt sich dadurch weiter nach oben. Die optimale Lösung ist dann:

$x_1 = 0,75$ und $x_2 = 2$ mit dem Zielfunktionswert:

$\underline{F}_2 = 3,5$

Es handelt sich hier um eine nichtganzzahlige Lösung und demnach keine zulässige Lösung. Auch das Problem muss weiter verzweigt werden. Das Teilproblem mit dem kleineren Zielfunktionswert wird dabei als erstes verzweigt. Es wird demnach das Problem $P_2$ mit $\underline{F}_2 = 3,5$ begonnen:

Für die Verzweigung $P_3$ und $P_4$ wird die Grafik herangezogen. Für beide Teilprobleme muss die Restriktion $P_2$ beibehalten werden. Wird die Simplexmethode verwendet, so muss beim angepassten Optimierungsproblem ebenfalls die Bedingung für $P_2$ beibehalten werden. Der zulässige Bereich wird dadurch weiter eingegrenzt:

Das angepasste Problem $P'_3$ führt zu keiner zulässigen Lösung. Durch die zusätzliche Bedingung $x_1 \le 0$ müsste sich der optimale Punkt auf der $y$-Achse befinden. Durch die Restriktion (3) allerdings ist dies nicht möglich. Demnach existiert keine zulässige Lösung und der Fall c ist gegeben. Das Teilproblem $P_3$ muss nicht weiter beachtet werden. 

Die optimale Lösung des angepassten Teilproblems $P'_4$ ergibt den optimalen Punkt $(1/2)$. Es ergibt sich demnach:

$x_1 = 1$ und $x_2 = 2$ mit dem Zielfunktionswert:

$\underline{F}_4 = 4$. 

Da es sich hierbei um eine ganzzahlige Lösung handelt ist diese zulässig für das Ausgangsproblem. Diese Lösung ist außerdem kleiner als die obere Schranke $\overline{F} = \infty$. Deswegen wird dieser Zielfunktionswert als neue obere Schranke gewählt:

$\overline{F}_4 = 4$.

Alle weiteren zulässigen ganzzahligen Lösungen die ermittelt werden müssen nun mit dieser oberen Schranke verglichen werden. Liegt ein zulässiger Zielfunktionswert über dieser Schranke, so tritt der Fall a ein und das Problem muss nicht weiter beachtet werden. Ziel ist die Suche nach einem kleineren Zeilfunktionswert als $\overline{F}_4 = 4$. Wird ein kleinerer zulässiger Zielfunktionswert gefunden, so tritt Fall b ein und dieser wird als neue obere Schranke gewählt. 

Das Teilproblem $P_4$ ist demnach ebenfalls nicht weiter zu verzweigen.

Es wird das Teilproblem $P_1$ weiter verzweigt.

Es wird im weiteren der gesamte Baum angezeigt. Die optimalen Lösungen können dabei entweder durch den Simplexalgorithmus oder durch das grafische Verfahren unter Berücksichtigung der Nebenbedingungen der Teilprobleme bestimmt werden. Dabei dürfen die Nebenbedingungen der übergeordneten Teilprobleme nicht vergessen werden:

Es werden in dem obigen Baum nun die Fälle b betrachtet. Von diesem wird der kleinste Wert ausgewählt. Da nur ein Fall b existiert, ist die beste Lösung gegeben bei $P_4$. 

Methode

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Nach diesem Verfahren wird nur verzweigt, wenn eine nichtganzzahlige optimale Lösung resultiert. Ansonsten liegen die Fälle a, b oder c vor und das Teilproblem muss nicht weiter beachtet werden. Fall a liegt vor, wenn die zulässige ganzzahlige Lösung größer ausfällt als die obere Schranke. Fall b tritt ein, wenn die zulässige ganzzahlige Lösung kleiner ausfällt als die obere Schranke. Dieser Zielfunktionswert wird dann zur neuen oberen Schranke. Fall c tritt ein, wenn keine zulässige Lösung ermittelt werden kann.