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Operations Research 2 - Beispiel: Methode der zulässigen Richtungen (2. Iteration)

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Operations Research 2

Beispiel: Methode der zulässigen Richtungen (2. Iteration)

In diesem Abschitt wird die Methode der zulässigen Richtungen fortgesetzt. Nachdem die neue zulässige Lösung $x = (0,4)$ ermittelt worden ist, wird nun wieder mit Schritt 2: Bestimmung der aktiven Indizes begonnen.

2. Bestimmung der aktiven Indizes

Es wird nun in die Nebenbedingungen des Ausgangsproblems die neue zulässige Lösung eingesetzt und geprüft, ob beim Einsetzen die Ungleichung zu einer Gleichung führt. Dies ergibt sich für die Nebenbedingungen 1 und 4:

(1) $x_1 + x_2 \le 4$

(2) $x_1 - x_2 \le 0$

(3) $x_1 \le 1$

(4) $-x_1 \le 0$

Methode

$I(0,4) = \{1,4 \}$

3. Bestimmung des Gradienten 

Es wird als nächstes der Gradient für die neue zulässige Lösung bestimmt:

$\frac{\partial f(x_1,x_2)}{\partial (x_1,x_2)} = (-2(x_1 - 2), -2(x_2 - 4)) $

Einsetzen von $(0,4)$:

$\frac{\partial f(x_1,x_2)}{\partial (x_1,x_2)} = (4, 0) $

4. Lösung des linearen Ersatzproblems

$\frac{\partial f(x)}{\partial x} \cdot s$   max!

u.d.N.

$a_i \cdot s \le 0$     $i \in I(x)$

$\frac{\partial f(x)}{\partial x} \cdot s \le 1$.

Für die Lösung des Ersatzproblems wird der Gradient als Zielfunktion verwendet und die Menge der aktiven Indizies als Nebenbedingungen, wobei die rechte Seite zur $0$ wird. Außerdem wird der Gradient der Zielfunktion zur $\le 1$-Nebenbedingung. Es müssen hier die Nebenbedingungen $1$ und $4$ betrachtet werden. Dafür wird $s_j := x_j$ gesetzt:


$4s_1$  $\rightarrow$  max!

u.d.N.

$s_1 + s_2 \le 0$

$-s_1 \le 0$

$4s_1 \le 1$

Das Problem kann zum Beispiel mittels Simplexalgorithmus gelöst werden. Hierfür wird allerdings:

$4s_1 $  $\rightarrow$  max!

u.d.N.

$s_1 + s_2' - s_2'' \le 0$

$4s_1 \le 1$

$s_1 \ge 0$

$s_2', s_2'' \ge 0$

Eintragen in das Tableau und lösen mittels primalen Simplex (da die rechte Seite nur positive Werte aufweist) ergibt dann:

methode der zulässigen Richtungen Simplex

Zu beachten ist, dass nach dem 2. Simplexschritt ein negativer Wert auf der rechten Seite auftaucht und hier dann der duale Simplexalgorithmus angewandt werden muss (erst Wahl der Pivotzeile, dann Wahl der Pivotspalte). Nach diesem Schritt liegt eine zulässige und gleichzeitig eine optimale Lösung vor (keine negativen Werte auf der rechten, keine negativen Werte in der untersten Zeile).

$s_1 =1/4$, $s_2' = 0$ und $s_2'' = 1/4$

mit

$s_2 = 0 - 1/4 = -1/4$

Diese Lösung ist in jedem Fall eine lokale beste Richtung, da sie im zulässigen Bereich des obigen Problems liegt. Setzt man nämlich $s(1/4,-1/4)$ in die Nebenbedingungen ein, so werden diese eingehalten. 

5. Bestimmung der Schrittweite: Zulässiger Bereich

$\mu' = \min_{i \neq I(x); a_i s >0} \frac{b_i - a_i \cdot x}{a_i \cdot s}$


Es müssen nun also die Nebenbedingungen des Ausgangsproblems betrachtet werden, die nicht Element von $I(x)$ sind. In diesem Fall also die Nebenbedingungen $2$ und $3$. Außerdem muss $a_i \cdot s > 0$ sein. Für die 4. Nebenbedingung ist aber $a_i s \le 0$, deswegen wird diese nicht berücksichtigt:

$\mu' = \min \{ \frac{b_2 - a_2 \cdot x}{a_2 \cdot s}; \frac{b_3 - a_3 \cdot x}{a_3 \cdot s} \}$


Einsetzen von $x = (0,4)$, $s=(1/4,-1/4)$ sowie $a_2 = (1,-1)$ und $a_3 = (1,0)$:

$\mu' = \min \{ \frac{0 - (1,-1) \cdot (0,4)}{(1,-1) \cdot (1/4,-1/4)};  \frac{1 - (1,0) \cdot (0,4)}{(1,0) \cdot (1/4,-1/4)} \}$

Methode

$\mu' = \min \{ 8,4 \} = 4$

6. Bestimmung der Schrittweite: Zielfunktion

Es wird als nächstes die Schrittweite $\mu''$ bestimmt. Hierfür wird $f(x)$ ersetzt durch $f(x + \mu'' \cdot s)$.

Es gilt $x(0,4) $. Das bedeutet $x_1 = 0, x_2 = 4$. Außerdem ist bestimmt worden $s = (1/4, -1/4)$. Das bedeutet $s_1 = 1/4$, $s_2 = -1/4$.


Es wird demnach ersetzt:

$x_1 = 0 + \mu'' \cdot 1/4 = 1/4 \mu''$ und

$x_2 = 4 + \mu'' \cdot -1/4 = 4 - 1/4 \mu''$.

$f(\mu'') = -(1/4 \mu'' - 2)^2 - (4 - 1/4 \mu'' - 4)^2$

Die Funktion wird nach $\mu$ abgeleitet (also das Maximum bestimmt):

$\frac{\partial f(\mu'')}{\partial \mu''} =  -2 (1/4 \mu'' - 2) \cdot 1/4 - 2 (1/4 \mu'') \cdot -1/4 = 0$

Auflösen nach $\mu''$:

Methode

$\mu'' = 4$

7. Wahl der Schrittweite

Es wird nun diejenige Schrittweite gewählt, die minimal ist:

$\mu = \min \{4, 4 \} = 4$

8. Berechnung der zulässigen Lösung

Die neue zulässige Lösung ist demnach:

$x = x + \mu \cdot s$

Methode

$x = (0,4) + 4 \cdot (1/4, -1/4) = (1,3)$.


Die 3. Iteration erfolgt im kommenden Abschnitt.