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Operations Research 2 - Beispiel: Methode der zulässigen Richtungen (3. Iteration)

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Operations Research 2

Beispiel: Methode der zulässigen Richtungen (3. Iteration)

In diesem Abschitt wird die Methode der zulässigen Richtungen fortgesetzt. Nachdem die neue zulässige Lösung $x = (1,3)$ ermittelt worden ist, wird nun wieder mit Schritt 2: Bestimmung der aktiven Indizes begonnen.

2. Bestimmung der aktiven Indizes

Es wird nun in die Nebenbedingungen des Ausgangsproblems die neue zulässige Lösung eingesetzt und geprüft, ob beim Einsetzen die Ungleichung zu einer Gleichung führt. Dies ergibt sich für die Nebenbedingungen 1 und 3:

(1) $x_1 + x_2 \le 4$

(2) $x_1 - x_2 \le 0$

(3) $x_1 \le 1$

(4) $x_1 \ge 0$

Methode

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$I(1,1) = \{1,3 \}$

3. Bestimmung des Gradienten 

Es wird als nächstes der Gradient für die neue zulässige Lösung bestimmt:

$\frac{\partial f(x_1,x_2)}{\partial (x_1,x_2)} = (-2(x_1 - 2), -2(x_2 - 4)) $

Einsetzen von $(1,3)$:

$\frac{\partial f(x_1,x_2)}{\partial (x_1,x_2)} = (2, 2) $

4. Lösung des linearen Ersatzproblems

$\frac{\partial f(x)}{\partial x} \cdot s$   max!

u.d.N.

$a_i \cdot s \le 0$     $i \in I(x)$

$\frac{\partial f(x)}{\partial x} \cdot s \le 1$.

Für die Lösung des Ersatzproblems wird der Gradient als Zielfunktion verwendet und die Menge der aktiven Indizies als Nebenbedingungen, wobei die rechte Seite zur $0$ wird. Außerdem wird der Gradient der Zielfunktion zur $\le 1$-Nebenbedingung. Es müssen hier die Nebenbedingungen $1$ und $3$ betrachtet werden. Dafür wird $s_j := x_j$ gesetzt:


$2s_1 + 2s_2$  $\rightarrow$  max!

u.d.N.

$s_1 + s_2 \le 0$

$-s_1 \le 0$

$2s_1 + 2s_2 \le 1$ 

Das Problem kann zum Beispiel mittels Simplexalgorithmus gelöst werden. Hierfür wird allerdings:


$2s_1 + 2s_2' - 2 s_2''$  $\rightarrow$  max!

u.d.N.

$s_1 + s_2' - s_2'' \le 0$

$2s_1 + 2s_2' - 2s_2'' \le 1$ 

$s_1 \ge 0$

$s_2', s_2'' \ge 0$


Eintragen in das Tableau und lösen mittels primalen Simplex (da die rechte Seite nur positive Werte aufweist) ergibt dann:

Das Ergebnis ist: $s_1 = 0$, $s_2' = 0$ und $s_2'' = 0$

mit

$s_2 = 0$.


Da das Ergebnis $s = (0,0)$ ist, ist das Verfahren hier beendet, weil die Zielfunktion den Wert null annimmt. Es existiert demnach keine Anstiegsrichtung mehr.

Methode

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Die beste Lösung ist demnach $x = (1,3)$.