Inhaltsverzeichnis
In diesem Abschnitt beschäftigen wir uns mit der Spannarbeit.
Beim Spannen oder Dehnen einer Feder wird Arbeit verrichtet. Bei der Spannarbeit hängt aber die Spannkraft vom Weg $s$ ab. Zunächst wird die Federkraft (rücktreibende Kraft) eingeführt:
Methode
$F_S = -k \cdot s$ Federkraft
mit
$k$ Federkonstante (Materialabhängig)
$s$ Federweg
Das negative Vorzeichen besagt: Je länger die Strecke $s$ ist, um die eine Feder gedehnt oder gestaucht wird, desto stärker ist die entgegenwirkende Federkraft $F_S$ der Feder. Wir wollen nun aber nicht die Federkraft der Feder bestimmen, sondern die Kraft, die wir benötigen, um die Feder zu spannen. Diese Kraft nennen wir im Folgenden Spannkraft. Diese ist natürlich gleich groß, aber entgegengesetzt zur Federkraft:
Methode
$F = k \cdot s$ Spannkraft
Diese Kraft ist also abhängig vom Weg $s$. Das bedeutet, dass bei der Berechnung der Arbeit nun die Schreibweise mit dem Integral herangezogen werden muss:
$W = \int F(s) ds = \int_0^s k \cdot s \; ds$
Lösen wir das Integral nun auf, so erhalten wir:
Methode
$W = \frac{1}{2} k \cdot s^2$ Spannarbeit/Verformungsarbeit
mit
$k$ Federkonstante
$s$ Federweg
Die beim Spannen einer Feder zu leistende Arbeit $W$ hängt also quadratisch vom Weg $s$ ab und linear von der Federkonstanten $k$.
Ist die Kraft $F$ gegeben, die wir aufwenden, um die Feder zu spannen, so ergibt sich mit $F = k \cdot s$:
Methode
$W = \frac{1}{2} F \cdot s$ Spannarbeit
mit
$F$ Kraft beim Spannen der Feder (entgegengesetzte Spannkraft)
$s$ Federweg
Anwendungsbeispiel: Auslenkung einer Schraubenfeder
Beispiel
Wir betrachten hier eine Schraubenfeder, die von der Kraft $F_1 = 80 N$, um eine Strecke $s_1$ ausgelenkt (gespannt) wird.
Zusätzlich wird eine Kraft $F_2 = 100 N$ aufgewendet, durch die die Feder um die Strecke $s_2 = 0,5 m$ ausgelenkt wird.
a) Wie groß ist die Arbeit, die für die Verlängerung um $s_2$ aufgewendet wird?
b) Wie groß ist die gesamte Arbeit $W_{ges}$, die an der Feder verrichtet wird?
Die Formeln, die wir benötigen sind:
- Federkräfte:
Methode
$F_1 = k \cdot s_1 = 80 N$ (1)
$F_2 = k \cdot s_2$
- Spannarbeiten:
Methode
$W_1 = \frac{1}{2} k \cdot s_12$ (2)
$W_2 = \frac{1}{2} k \cdot s_2^2$
- Gesamte Federkraft
$ F = k \cdot s$
mit: $s = s_1 + s_2$
Methode
$F = k \cdot (s_1 + s_2)$ (3)
- Gesamtarbeit:
$W = \frac{1}{2} k \cdot s^2$
mit: $s = s_1 + s_2$
Methode
$W_{ges} = \frac{1}{2} k \cdot (s_1 + s_2)^2$ (4)
Wichtig ist bei der Aufstellung der Gesamtarbeit, dass die Formel $W = \frac{1}{2} k s^2$ herangezogen wird und dann die Summe der beiden Teilwege für $s$ eingesetzt werden: $W = k (s_1 + s_2)^2$.
a) Welche Arbeit wird für die Verlängerung um $s_2 = 0,5 m$ der Feder zugeführt. Die gesuchte Arbeit entspricht der Differenz von $W_2 = W_{ges} - W_1$.
$W_2 = \frac{1}{2} k (s_1 + s_2)^2 - \frac{1}{2} k s_1^2$
$W_2 = \frac{1}{2} k (s_1^2 + 2 s_1 s_2 + s_2^2) - \frac{1}{2} k s_1^2$
$W_2 = \frac{1}{2} k s_1^2 + \frac{1}{2} k 2 s_1 s_2 + \frac{1}{2} k s_2^2 - \frac{1}{2} k s_1^2$ |Kürzen
Methode
$W_2 = k s_1 s_2 + \frac{1}{2} k s_2^2$ (5)
Die gesamte Federkraft $F$ an der Feder beträgt (Gleichung (3)):
$F = k (s_1 + s_2)$
Methode
$F = k s_1 + k s_2$
Aus der obigen Gleichung ist ersichtlich, dass die gesamte Federkraft der Summe der beiden Federkrräften $F_1$ und $F_2$ entspricht.
$\rightarrow: F = F_1 + F_2$
Wir können nun in die obige Gleichung die folgenden aus der Aufgabenstellung bekannten Werte einsetzen:
$F_1 = k s_1 = 80 N$
$F_2 = k s_2 = 100 N$
$s_2 = 0,5m$
Einsetzen der Werte und auflösen nach $k$ ergibt die Federkonstante:
$180 N = 80 N + k \cdot 0,5 m$ |$-80 N$
$180 N - 80 N = k \cdot 0,5 m$ |$: 0,5 m$
$k = \frac{100 N}{0,5 m}$
Methode
$k = 200 \frac{N}{m}$ Federkonstante
Einsetzen von $k$ in Gleichung (1), um die Verlängerung $s_1$ zu bestimmen:
$F_1 = k \cdot s_1$ |$: k$
$s_1 = \frac{F_1}{k}$ |Einsetzen der Werte
$s_1 = \frac{80 N}{200 \frac{N}{m}}$ |Einheiten kürzen
Methode
$s_1 = 0,4 m$
Zur Berechnung von $W_2$ setzen wir jetzt alle Werte in Gleichung (5) ein:
$W_2 = k s_1 s_2 + \frac{1}{2} k s_2^2$
$W_2 = 200 \frac{N}{m} \; \cdot \; 0,5 m \; \cdot \; 0,4 m + \frac{1}{2} 200 \frac{N}{m} (0,5 m)^2$
$W_2 = 200 \frac{N}{m} \; \cdot \; 0,5 m \; \cdot \; 0,4 m + \frac{1}{2} 200 \frac{N}{m} \cdot 0,5^2 m^2$ |Einheiten kürzen
$W_2 = 200 N \; \cdot \; 0,5 \; \cdot \; 0,4 m + \frac{1}{2} 200 N \; \cdot \; 0,25 m$
$W_2 = 200 N \; \cdot \; 0,5 \; \cdot \; 0,4 m + \frac{1}{2} 200 N \; \cdot \; 0,25 m$
$W_2 = 65 Nm \; \hat{=} \; 65 J$
Die Arbeit, die der Feder für die Verlängerung um $s_2 = 0,5 m$ zugeführt wurde, beträgt $W_2 = 65 J$.
b) Wie groß ist die gesamte Arbeit $W_{ges}$, die der Feder zugeführt wird?
Hierfür setzen wir alle Werte in die Gleichung (4) ein:
$W_{ges} = \frac{1}{2} k (s_1 + s_2)^2$
$W_{ges} = \frac{1}{2} 200 \frac{N}{m} (0,4 m + 0,5 m)^2$
$W_{ges} = \frac{1}{2} 200 \frac{N}{m} (0,4 m + 0,5 m)(0,4 m + 0,5 m)$ |Klammer ausmultiplizieren (Binom. Formel)
$W_{ges} = \frac{1}{2} 200 \frac{N}{m} ((0,4 m)^2 + 2 \cdot 0,4 m \cdot 0,5 m + (0,5 m)^2)$
$W_{ges} = \frac{1}{2} 200 \frac{N}{m} \cdot 0,81 m^2$ |Einheiten kürzen
$W_{ges} = \frac{1}{2} 200 N \cdot 0,81 m$
$W_{ges} = 81 Nm \; \hat{=} \; 81 J$
Die der Feder zugeführte Gesamtarbeit beträgt $W_{ges} = 81 J$.
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