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Physik - Gravitationskraft

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Physik

Gravitationskraft

In diesem Abschnitt soll die Gravitationskraft erläutert werden. Im Abschnitt Gewichtskraft/Federkraft ist bereits der Spezialfall eines Körpers in der Nähe der Erdoberfläche als Gewichtskraft aufgeführt worden.

Methode

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$G = m \cdot g$                 Gewichtskraft

Die Gravitationskraft basiert auf der Tatsache, dass sich zwei Körper und damit zwei Massen anziehen. Hier gilt wieder das Wechselwirkungsgesetz und das Beispiel mit dem Ball, welcher von der Erde angezogen wird und mit gleich großer aber entgegengesetzter Kraft zieht auch der Ball die Erde an. Die Massenanziehung gilt universell. Das bedeutet also, dass es kein spezielles Phänomen der Erde ist, sondern grundsätzlich für zwei Massen gilt. So zum Beispiel auch für die Planeten (z.B. Sonne und Mond, Mond und Erde usw.). 

Gravitation hält den Mond in der Umlaufbahn um die Erde
Gravitation hält den Mond in der Umlaufbahn um die Erde

Im allgemeinen Gravitationsgesetz formuliert Newton diese Massenanziehung wie folgt:

Methode

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$F_{grav} = G \frac{ m_1 \cdot m_2 }{x^2}$                    Gravitationskraft

mit

$G  = 6,67 · 10^{-11} N \frac{m^2}{kg^2}$  Gravitationskonstante

$m_1$ Masse vom Körper 1

$m_2$ Masse vom Körper 2

$x$ Abstand zwischen den beiden Schwerpunkten der Körper

Aus der obigen Gleichung ist ersichtlich, dass die Anziehung zwischen zwei Körpern mit zunehmender Masse der Körper wächst und mit dem Quadrat des Abstands zwischen den Schwerpunkten abnimmt.

Anziehungskraft auf der Oberfläche von Planeten

Für einen Körper, der sich auf der Oberfläche eines Planeten befindet, ist $x$ gleich dem Radius $r$ des Planeten:

Methode

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$F_{grav} = G \frac{ M \cdot m }{r^2}$    

mit

$G = 6,67 · 10^{-11} N \frac{m^2}{kg^2}$  Gravitationskonstante

$M$ Masse des Planeten

$r$ Radius des Planeten

$m$ Masse des Körpers auf der Oberfläche des Planeten

Es kann nun die Masse $M$ des Planeten, sein Radius $r$ und die universelle Gravitationskonsten $G$ zu einer einzigen Konstanten zusammengefasst werden:

$g = \frac{M \cdot G}{r^2}$

Es folgt dann:

Methode

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$F_{grav} = m \cdot g$  

mit

$g = \frac{M \cdot G}{r^2}$

$G  = 6,67 · 10^{-11} N \frac{m^2}{kg^2}$  Gravitationskonstante

Für die Erde ergibt sich mit der Masse der Erde von $M_E = 5,972 \cdot 10^{24} kg$ und dem Radius der Erde $r_E = 6.371 km = 6.371.000m$ die bereits bekannte Erdbeschleunigung:

$g_E =  \frac{M_E \cdot G}{r_E^2} =  \frac{5,972 \cdot 10^{24} kg \cdot 6,67 · 10^{-11} N \frac{m^2}{kg^2}}{(6.371.000 m)^2}$

$g_E = 9,81 \frac{m}{s^2}$

Durchschnittswerte anderer Planeten

  • Mond: $M_{Mond} = 7,349 \cdot 10^{22} kg$, $r_{Mond} = 1.738 km$, $g_{Mond} = 1,62 \frac{m}{s^2}$

Merke

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Die Anziehung an der Oberfläche der Erde ist ca. 6-fach so groß wie die Anziehung auf der Mondoberfläche.

Sollten irgendwann eine Mondstation gebaut werden, so müssen die Astronauten bei längerem Verbleib auf dem Mond zusätzliches Krafttraining absolvieren. Aufgrund der geringeren Anziehung auf dem Mond werden die Muskeln nicht mehr so stark in Anspruch genommen. Würde kein zusätzliches Krafttrainig absolviert werden, würden die Muskel sich zurückbilden und später auf der Erde zu starken Bewegungsproblemen führen. Die Astronauten hätten nicht genügend Muskelmasse um der Erdanziehung entgegen zu wirken. Das bedeutet z.B., dass ihre Beine sie nicht mehr tragen könnten, weil nicht genügend Beinmuskulatur vorhanden wäre um den Körper nach oben zu drücken und die Beine zu entgegen der Erdanziehung zu heben.

Beispiel

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Welche Gewichtskraft besitzt eine 70 kg schwere Person auf der Erde und auf dem Mond?

$G = m \cdot g$

mit

$g_E = 9,81  \frac{m}{s^2}$

$g_{Mond} = 1,62 \frac{m}{s^2}$

$G_E =  70 kg \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} = 686,7 N$

$G_{Mond} = 70 kg \cdot 1,62 \frac{m}{s^2} = 113,4 N$

Beispiel

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Wie viel müsste eine Person auf der Erde wiegen, um eine Gewichtskraft von $G = 113,4 N$ zu erhalten?

$113,4 N = x  \cdot 9,81 \frac{m}{s^2}$

$x = \frac{113,4 N}{9,81 \frac{m}{s^2}} = 11,56 kg$

  • Sonne: $M_S = 1,989 \cdot 10^{30} kg$, $r_S = 695.700 km$ und damit $g_S = 274,1 \frac{m}{s^2}$

Merke

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Die Anziehung an der Oberfläche der Sonne ist ca. 28-fach so groß wie die Anziehung auf der Erdoberfläche.

Mal abgesehen von den Temperaturen auf der Sonne, wäre es nicht möglich sich auf der Sonne fortzubewegen bzw. überhaupt zu existieren. Unser Körper könnte die starke Anziehung der Sonne nicht aushalten.

Beispiel

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Welche Gewichtskraft besitzt eine 70 kg schwere Person auf der Erde und auf der Sonne?

$G = m \cdot g$

mit

$g_E = 9,81  \frac{m}{s^2}$

$g_S = 274,1 \frac{m}{s^2}$

$G_E =  70 kg \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} = 686,7 N$

$G_S = 70 kg \cdot 274,1 \frac{m}{s^2} = 19.187 N$

Beispiel

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Wie viel müsste eine Person auf der Erde wiegen, um eine Gewichtskraft von $G = 19.187N$ zu erhalten?

$19.187N = x  \cdot 9,81 \frac{m}{s^2}$

$x = \frac{19.187N}{9,81 \frac{m}{s^2}} = 1.955 kg$

  • Mars: $M_{Mars} = 6,39 · 10^{23} kg$, $r_{Mars} = 3.390 km$ und damit $g_{Mars} = 3.71 \frac{m}{s^2}$ .

Die Anziehung an der Oberfläche der Erde ist ca. 2,5-fach so groß wie die Anziehung auf der Marsoberfläche.

Beispiel

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Welche Gewichtskraft besitzt eine 70 kg schwere Person auf dem Mars?

$G_{Mars} = 70 kg \cdot 3,71  \frac{m}{s^2} = 259,7 N$

Beispiel

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Wie viel müsste eine Person auf der Erde wiegen, um eine Gewichtskraft von $G = 19.187N$ zu erhalten?

$259,7 N = x \cdot 9,81 \frac{m}{s^2}$

$x = \frac{259,7 N}{ 9,81 \frac{m}{s^2}} = 26,47 kg$