Gravitationskraft und Planetenbewegungen

Warum zieht die Sonne die Erde nicht an, sondern kreist um die Sonne?

Illustration des Sonnensystems inkl. Umlaufbahnen

Dazu stelle man sich einen waagerecht geworfenen Ball vor. Die Bewegung des Balls kann in einen waagerechten Anteil und in einen senkrechten Anteil zerlegt werden. Wie weit der Ball in waagerechter Richtung fliegt, ist abhängig von der Geschwindigkeit, mit der der Ball geworfen wird.

Je größer die Geschwindigkeit, um so weiter der Weg in horizontaler Richtung. Auf den Ball wirkt dann die Gravitationskraft als die Kraft, die ihn entgegen seiner Trägheit von der gradlinigen Bahn in eine Kreisbahn zwingt. Aus der Sicht des Balls verbleibt er auf seiner Bahn nur deshalb, weil die Gravitationskraft durch eine entgegengesetzte aber gleich große Zentrifugalkraft kompensiert wird:

Damit der Ball um die Erde kreist, müssen Zentrifugalkraft und Gravitationsgkraft gleich sein. Die beiden Gleichungen werden also gleich gesetzt:

Gravitationskraft: $F_{grav} = G \frac{ M_E \cdot m }{r_E^2}$    

oder kurz:

$F_{grav} = m_{Ball} \cdot r_E$

mit

$g_E = 9,81 \frac{m}{s^2}$

Die Gravitationskraft beträgt demnach:

Zentrifugalkraft:  $Z = \frac{m_{Ball} \cdot v^2}{r_{Bahn}}$

Dabei ist $r_{Bahn}$ die Flugbahn des Balls um die Erde. Der Radius ist demnach der Abstand vom Erdmittelpunkt zur Erdoberfläche mit $r_E = 6.371.000 m$.

Die Zentrifugalkraft ist demnach:

Gleichsetzen von Zentrifugalkraft und Gravitationskraft:

$m_{Ball}  \cdot 9,81 \frac{m}{s^2}  = \frac{m_{Ball} \cdot v^2}{6.371.000 m}$

Auflösen nach der Geschwindigkeit $v$:

$v^2 = 9,81 \frac{m}{s^2} \cdot 6.371.000 m $

$v = \sqrt{ 9,81 \frac{m}{s^2} \cdot 6.371.000 m}$

$v = \sqrt{62.499.510 \frac{m^2}{s^2}} = 7.905,67 \frac{m}{s} = 28.460,41 \frac{km}{h}$

Der Ball müsste also eine Geschwindigkeit von 28.460,41 \frac{km}{h}$ aufweisen, damit er sich um dieser nicht auf die Erde herabfällt, sondern eine Kreisbahn um die Erde zieht. Wird ein Ball mit dieser Geschwindigkeit abgeworfen, so wird er die Geschwindigkeit aufgrund des Luftwiderstandes natürlich nicht beibehalten und stetig langsamer werden. Am Ende würde er zu Boden fallen, es sei denn er hätte einen Antrieb, welcher dafür sorgt, dass der Ball die Geschwindigkeit beibehält. Denn nur wenn er diese Geschwindigkeit beibehält, kreist er um die Erde.

Für Satelliten sieht das natürlich anders aus. Diese befinden sich außerhalb der Erdatmosphäre im Vakuum. Hier existiert kein Luftwiderstand. Satelliten müssen also einmal eine bestimmte Geschwindigkeit erreichen, bei welcher Gravitationskraft und Zentrifugalkraft gleich sind und bewegen sich dann solange mit dieser Geschwindigkeit um die Erde, bis eine Kraft aufgewendet wird um den Satelliten zu stoppen. Die Geschwindigkeit die Satelliten erreichen müssen, ist abhängig vom Abstand zum Erdmittelpunkt. 

Wir sind bei dem Ball davon ausgegangen, dass dieser sich auf der Erdoberfläche befindet. Hier konnten wir die Fallbeschleunigung der Erde $g = 9,81 \frac{m}{s^2}$ verwenden. Für Körper mit einem Abstand $r$ zum Erdmittelpunkt nimmt die Fallbeschleunigung der Erde aber ab. Die folgende Formel kann dann herangezogen werden:

Ist der Körper also auf der Erdoberfläche wird obige Formel zu $g = g_E = 9,81 \frac{m}{s^2}$. Je weiter sich der Körper von der Erdoberfläche entfernt, desto geringer wird die Erdanziehung und damit die Erdbeschleunigung.

Eliptische Bahnen

Da die Erde kein genauer Kreis ist, sondern eher eine eliptische Form aufweist, begwegen sich die Satelliten nicht genau kreisförmig. Um diese eliptische Bahn zu erreichen sind die Satelliten auf eine etwas höhere Geschwindigkeit beschleunigt worden, als es für eine Kreisbahn notwendig wäre.

(1) Aufgrund der höheren Geschwindigkeit überwiegt die Zentrifugalkraft der Gravitationskraft und die Satelliten entfernen sich weiter von der Erde.

(2) Die Energie für die Höhenzunahmen (potentielle Energie) geht dabei auf Kosten der Bewegungsenergie (kinetische Energie). Der Satellit wird also langsamer und damit nimmt die Zentrifugalkraft ab. Das bedeutet wiederrum, dass nun die Gravitationskraft überwiegt und der Satellit an Höhe verliert (potentielle Energie nimmt ab).

(3) Da nun die Höhenenergie abnimmt, nimmt die Bewegungsenergie (kinetische Enegrie wieder zu). Der Satellit wird also wieder schneller. (Weiter bei 1)

Dieser ganze Ablauf wiederholt sich. Auf diese Weise kommt eine elliptische Umlaufbahn zustande.

Anwendungsbeispiel: Zentrifugalkraft

Wir betrachten zunächst den Abstand von dem Satelliten zur Erde. Hierbei wird der Erdkern (also der Erdmittelpunkt) als Bezugspunkt verwendet. Vom Erdmittelpunkt zur Erdoberfläche ist der Abstand $r_E = 6.371 km$. Es müssen zusätzlich noch die 100 km aufaddiert werden:

$r = 6.371 km + 100km = 6.471 km$.

Umgerechnet in Meter ergibt sich:

$r = 6.471  \cdot 1.000 = 6.471.000 m$

Die Zeit für die Umdrehung dauert insgesamt:

$t = 100 min = 100 \cdot 60 = 6.000s$

Die Zentrifugalkraft berechnet sich durch:

$Z = \frac{m \cdot v^2}{r_{Bahn}}$

Wir kennen die Geschnwindigkeit $v$ noch nicht. Da es sich hierbei um eine gleichförmige Kreisbewegung handelt, gilt der folgende Zusammenhang:

$v = \omega \cdot r$

Die Winkelgeschwindigkeit $\omega$ können wir mittels Umlaufzeit $T$ bestimmen:

$T = \frac{2\pi}{\omega}$

Die Umlaufzeit $T$ gibt die Dauer für eine Kreisumdrehung an. In diesem Fall benötigt der Satellit also $T = 6.000s$ für eine Umdrehung der Erde:

$6.000s = \frac{2\pi}{\omega}$

Auflösen nach $\omega$:

$\omega = \frac{2\pi}{6.000s} = 0,0010472 s^{-1}$

Wir können als nächstes die Geschwindigkeit $v$ bestimmen:

$v = 0,0010472 s^{-1} \cdot 6.471.000 m = 6.776,43 \frac{m}{s}$

Wir setzen die Geschwindigkeit als nächstes in die Bestimmung der Zentrifugalkraft ein:

$Z = \frac{80kg \cdot (6.776,43 \frac{m}{s})^2}{6.471.000 m} = 567,70 N$