Newtonsche Bewegungsgleichung

In diesem Abschnitt wird das Bewegungsgesetz betrachtet und gezeigt, dass die Beschreibung aller Bewegungen mit diesem Gesetz möglich ist.

• Bei gegebener Beschleunigung und Masse kann hieraus die Kraft $F$ bestimmt werden. Die Masse geht dabei in $kg$ ein, die Beschleunigung in $\frac{m}{s^2}$.

Beispiel

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Ein Auto der Masse m = 1.500 kg erfährt beim Start eine Beschleunigung von $a = 5 \frac{m}{s^2}$ .

Rennstart

Wie groß ist die Kraft, die das Auto in Bewegung setzt?

$F = 1.500 kg \cdot 5 \frac{m}{s^2} = 7.500 N = 7,5 kN$.

Beispiel

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Ein Zug mit der Masse $m = 800 t$ fährt mit der Beschleunigung $a = 0,15 \frac{m}{s^2}$ aus der Ruhe an.

Zug bei Anfahrt

Welche Kraft braucht man zum Beschleunigen?

$F = 800.000 kg \cdot 0,15 \frac{m}{s^2} = 120.000 N = 120 kN$

• Bei gegebener Kraft und Masse kann hieraus die Beschleunigung $a$ bestimmt werden. Die Masse geht dabei in $kg$ ein, die Beschleunigung in $\frac{m}{s^2}$ und die Kraft mit $N = \frac{kg \cdot m}{s^2}$.

Beispiel

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Bei einem Elfmeter schießt der Spieler den Fußball mit der Masse $m = 0,4 kg$ mit einer Schusskraft von $F = 400 N$ aufs Tor.

Fußballtor

Wie groß ist die Beschleunigung?

Umstellen der Gleichung nach $a$:

$a = \frac{F}{m}$

$a = \frac{400 N}{0,4 kg} = 1.000 \frac{m}{s^2}$

Das Bewegungsgesetz kann auch geschrieben werden in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit, denn es gilt $a = \frac{dv}{dt}$:

• Bei gegebener Kraft und Masse kann hierraus die Geschwindigkeit $v$ bestimmt werden. 

Es wird zunächst die Beschleunigung bestimmt:

$a = \frac{F}{m} = 1.000 \frac{m}{s^2}$

Danach wird die Geschwindigkeit mittels Integration bestimmt:

$a = \frac{dv}{dt}$

$dv = a \cdot dt$

$\int_0^v dv = \int_0^{t} a \cdot dt$

Die Integrationsgrenzen beginnen bei $v =0$ und $t =0$, weil beim Elfmeter aus dem Stand geschossen wird (Ball befindet sich in Ruhe $v = 0$) und die Zeitzählung beginnt erst ab dem Schuss.

Einsetzen von $a =1.000 \frac{m}{s^2}$:

$\int_0^v dv = \int_0^{t} 1.000 \frac{m}{s^2} \cdot dt$

Integrieren:

$v =  1.000 \frac{m}{s^2} \cdot t$

Einsetzen von $t = 0,03s$:

$v =  1.000 \frac{m}{s^2} \cdot 0,03s = 30 \frac{m}{s}$

Gegeben ist diesmal die Geschwindigkeit. Es gilt:

$a = \frac{dv}{dt}$

$dv = a \cdot dt$

$\int_0^v dv = \int_0^{t} a \cdot dt$

$v = a \cdot t$

Einsetzen der Geschwindigkeit und Zeit:

$20 \frac{m}{s} = a \cdot 8s$

Umstellen nach $a$:

$a = \frac{20 \frac{m}{s}}{8s} = 2,5 \frac{m}{s^2}$

Hier werden also die Formeln aus dem vorherigen Kapital angewandt.

Als nächstes wird das Bewegungsgesetz herangezogen:

$F = m \cdot a$

$F = 1.500 kg \cdot 2,5 \frac{m}{s^2} = 3.750 N$.