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Physik

Gedämpfte harmonische Schwingungen

Wir haben in den vorherigen Abschnitten die ungedämpfte harmonischen Schwingungen betrachtet. Bei der ungedämpften Schwingung treten keine Reibungskräfte auf (z.B. Luftwiderstand). Die Schwingung kann sich also fortsetzen ohne aufgrund von Reibung ausgebremst zu werden.

Gedämpfte Schwingungen

Ungedämpfte Schwingungen sind nur möglich wenn keine Reibungskräfte gegeben sind. Reale Schwingungen hingegen werden durch auftretende Reibungen ausgebremst und kommen irgendwann zum Stillstand (es sei denn es wird regelmäßig Energie zugeführt). Solche Schwingungen werden als gedämpfte Schwingungen bezeichnet. 

Merke

Durch Reibung wird Energie an die Umgebung abgegeben. Überlässt man ein solches System sich selbst, so führt das letztendlich zum Stillstand. 

Bei einem Federpendel wird der Großteil der Schwingungsenergie beim Verformen der Feder in thermisch Energie umgewandelt. Aber auch der Luftwiderstand (je nach Größe des am Pendel hängenden Gewichts) kann hier eine Rolle spielen. 

Bewegungsgleichung

Die gedämpfte Schwingung aufgrund von Reibung lässt sich mit der sogenannten Dämpfungskonstante $\delta$ beschreiben. Diese gibt an wie stark die Schwingung gedämpft ist.

Bei der gedämpften Schwingung ist die Amplitude $A$ über die Zeit nicht mehr konstant, sondern ändert sich aufgrund von Reibung. Ist eine Reibungskraft gegeben, die abhängig von der Geschwindigkeit $v$ ist (z.B. der Luftwiderstand), so nimmt die Amplitude $A(t)$ vom Anfangswert exponentiell ab:

Methode

$A(t) = A \cdot e^{-\delta \cdot t}$               Amplitudenfunktion

Gedämpfte Schwingung
Gedämpfte Schwingung: Amplitudenfunktion

In der obigen Grafik ist eine harmonische gedämpfte Schwingung zu sehen. Die Schwingung beginnt bei der Amplitude $A$. Die Amplitude $A$ nimmt aufgrund der Reibung exponentiell mit der Amplitudenfunktion $A(t) = A \cdot e^{-\delta t}$ ab.

Die Bewegungsgleichungen (siehe Abschnitt Harmonische Schwingungen: Bewegungsleichung) muss entsprechend der Änderung der Amplitude $A$ angepasst werden zu:

Methode

Beginn der Bewegung in der Ruhelage:

$s(t) = A \cdot e^{-\delta \cdot t} \cdot \sin(\omega_d \cdot t)$                            Auslenkung (Ort-Zeit-Gesetz)


Beginn der Bewegung nicht in Ruhelage:

$s(t) = A \cdot e^{-\delta \cdot t} \cdot \sin(\omega_d \cdot t + \varphi_0)$     

Beginn der Bewegung am Umkehrpunkt (Phasenverschiebung um $\varphi_0 = \frac{\pi}{2}$):

$s(t) = A \cdot e^{-\delta \cdot t} \cdot \cos(\omega_d \cdot t)$ 

bzw.

$s(t) = A \cdot e^{-\delta \cdot t} \cdot \sin(\omega_d \cdot t + \frac{\pi}{2})$    

Bei der Ableitung der Funktion $s(t)$ muss natürlich ebenfalls die Amplitudenfunktion abgeleitet werden. Dabei gilt die einmalige Ableitung der Auslenkung ergibt die Geschwindigkeit $v(t)$ und die zweimalige Ableitung die Beschleunigung $a(t)$.

Für die gedämpfte Eigenfrequenz $\omega_d$ der einzelnen Pendel gilt:

Methode

$\omega_d = \sqrt{\omega^2 - \delta^2}$


Das bedeutet also für alle drei Pendel:

Methode

Federpendel: $\omega_d = \sqrt{\frac{k}{m} -\delta^2}$

Fadenpendel (mathematisches Pendel): $\omega_d = \sqrt{\frac{g}{l} -\delta^2}$

Physikalisches Pendel: $\omega_d = \sqrt{ \frac{l \cdot m \cdot g}{J} - \delta^2} $


Demnach müssen ebenfalls die Schwingungsdauer $T$ und Schwingungsfrequenz $f$ angepasst werden:

Methode

$T_d =  \frac{2\pi}{w_d}$

$f_d =  \frac{w_d}{2 \pi}$


Wesentlicher Effekt:  Das Verhältnis $q$ zweier benachbarter Amplituden ist gegeben mit:

Methode

$q = \frac{A_i}{A_{i+1}} = e^{\delta T_d}$


Das logarithmische Dekrement $\Lambda$ ergibt sich zu:

Methode

$ \Lambda = \ln(q) = \delta \cdot T_d$    Logarithmisches Dekrement


Die folgende Grafik zeigt die Bewegungsgleichung und Amplitudenfunktionen für die unterschiedlichen Anfangspunkte der Bewegung:

Gedämpfte Schwingungen
Gedämpfte Schwingungen

Gesamtenergie

Bei der gedämpften Schwingungen sinkt die Gesamtenergie im Zeitverlauf. Es muss also das Produkt

Methode

$\cdot e^{-2\delta \cdot t}$

bei der Gesamtenergie berücksichtigt werden.


Für das Fadenpendel gilt somit:

$E_{ges} =  \frac{1}{2} k \cdot A^2 \cdot e^{-2\delta \cdot t}$

Anwendungsbeispiel: Gedämpfte Schwingung

Beispiel

Eine gedämpfte Schwingung startet mit maximaler Amplitude und hat nach 15 s nur noch 2% ihrer Anfangsamplitude. Wie groß ist der Abklingkoeffizient der Schwingung?

Hier können wir die Amplitudenfunktion heranziehen:

$A(t) = A \cdot e^{-\delta \cdot t}$      


Nach $t = 15s$ ist nur noch 2% der Anfangsamplitude $A$ gegeben:

$A(t) = 0,02 A$

Wir setzen ein:

$0,02 A = A \cdot e^{-\delta \cdot 15s}$    

Wir können diese Gleichung als nächstes nach $\delta$ auflösen:

$0,02 A = A \cdot e^{-\delta \cdot 15s}$    

$0,02 =  e^{-\delta \cdot 15s}$    

$ln(0,02) =  -\delta \cdot 15s$  

$\delta =  -\frac{ln(0,02)}{15s}$ 

$\delta =  0,261 s^{-1}$ 

Der Abklingskoeffizient beträgt 0,261s^{-1}$.

Anwendungsbeispiel: Logarithmisches Dekrement

Beispiel

Es soll das logarithmische Dekrement $\Lambda$ eines mathematischen Pendels (=Fadenpendel) bestimmt werden. Die maximale Amplitude sei dabei nach 1,5 min auf $\frac{1}{6}$ abgeklungen. Die Pendellänge sei $l = 1,8m$. Berechne außerdem die Different $\triangle \omega$ zwischen den Eigenfrequenzen des gedämpften und ungedämften Pendels.

Das logarithmische Dekrement $\Lambda$ wird bestimmt zu:

$ \Lambda = \ln(q) = \delta \cdot T_d$

Die Amplitude $A(t= 1,5min)$ ist dabei $\frac{1}{6}$ der Anfangsamplitude:

$A(1,5min) = \frac{1}{6} A$

Wir können nun zunächst den Abklingungskoeffizienten $\delta$ aus der Amplitudenfunktion bestimmen:

$A(t) = A \cdot e^{-\delta \cdot t}$       

$\frac{1}{6} A = A \cdot e^{-\delta \cdot 90s}$

$\frac{1}{6} = e^{-\delta \cdot 90s}$

$ln(\frac{1}{6}) = -\delta \cdot 90s$

$\delta = -\frac{\ln(\frac{1}{6}) }{90s}$

$\delta = 0,02 s^{-1}$

Als nächstes müssen wir noch die Schwingungsdauer $T_d$ bestimmen:

$T_d =  \frac{2\pi}{w_d}$

Es handelt sich hier um ein Fadenpendel mit Eigenfrequenz $\omega_d = \sqrt{\frac{g}{l} -\delta^2}$:

$T_d =  \frac{2\pi}{ \sqrt{\frac{g}{l} -\delta^2}}$

Einsetzen der Werte:

$T_d =  \frac{2\pi}{ \sqrt{\frac{9,81 \frac{m}{s^2}}{1,8m} -(0,02 s^{-1})^2}}$

$T_d = 2,692 s$

Das logarithmische Dekrement ergibt sich demnach zu:

$ \Lambda = 0,02 s^{-1} \cdot 2,692s = 0,054$

Der nächste Schritt ist nun die Differenzen der Eigenfrequenzen einer ungedämpften und gedämpften Schwingung zu bestimmen:

$\omega = \sqrt{\frac{g}{l}}$

$\omega_d = \sqrt{\frac{g}{l} -\delta^2}

$\triangle \omega = \omega - \omega_d$

$\triangle \omega = \sqrt{\frac{g}{l}} - \sqrt{\frac{g}{l} -\delta^2}$

$\triangle \omega = \sqrt{\frac{9,81 \frac{m}{s^2}}{1,8m}} - \sqrt{\frac{9,81 \frac{m}{s^2}}{1,8m} -0,02^2}$

$\triangle \omega = 0,0000857 = 8,57 \cdot 10^{-5}$

Anwendungsbeispiel: Amplitude

Beispiel

Die zweite Amplitude einer gedämpften Schwingung ist um 1,5 mm kleiner als die 25 mm große erste Amplitude. Wie groß ist die 8. Amplitude?

Das Verhältnis zweier benachbarter Amplituden kann bestimmt werden durch:

$q = \frac{A_i}{A_{i+1}} = e^{\delta T_d}$

Wir haben in der Aufgabenstellung die erste Amplitude mit $A_1 = 25mm$ und die zweite Amplitude mit $A_2 = 25mm - 1,5mm = 23,5mm$ gegeben. Wir können als nächstes das Verhältnis $q$ bestimmen:

$q = \frac{A_1}{A_2} = \frac{25mm}{23,5mm} = 1,0638$

Wir wollen nun die Größe der 8. Amplitude bestimmen. Dazu können wir die Formel so anpassen, dass:

$A_n = \frac{A_i}{q^{n-1}}$

$A_8 = \frac{A_1}{q^7}$

$A_8 = \frac{25mm}{1,0638^7} = 16,22 mm$