Energiebetrachtung: Federpendel

Die kinetische und Potentielle Energie eines Federpendels wird im Folgenden betrachtet.

Energie beim Federpendel

Wir betrachten ein Federpendel, das aus seiner Ruhelage $A$ in die Position $B$ ausgelenkt wird:

Federpendel

Dabei ist $s$ der senkrechte Abstand von der Ruhelage $A$ und der Auslenkung $B$. 

Potentielle Energie

Das Federpendel wird also zunächst ausgelenkt, um es in die Position $B$ zu bringen. Hier wird Spannarbeit geleistet (siehe Abschnitt Spannarbeit):

Ist die Kraft $F$ gegeben, mit welcher die Feder ausgelenkt bzw. gespannt wird, so gilt: $F = k \cdot $s:

Die potentielle Energie ist gleich dieser Spannarbeit:

Die potentielle Energie nimmt ihren maximalen Wert bei der maximalen Auslenkung ein. Die maximale Auslenkung ist in der obigen Grafik der Punkt $B$, welcher einen Umkehrpunkt darstellt. An diesem Punkt bleibt das Federpendel kur stehen ($v = 0$) und damit ist die kinetische Energie gleich Null. 

Wir können nun für $s$ die Bewegungsgleichung $y(t)$ einsetzen, welche die Auslenkung zum Zeitpunkt $t$ darstellt:

Kinetische Energie

Wird das Federpendel nun losgelassen, so beginnt es sich in Richtung der Ruhelage $A$ zu bewegen. Die potentielle Energie wird also in kinetische Energie umgewandelt:

Ist das Federpendel wieder im Ausgangspunkt $A$ angekommen hat sich die gesamte potentielle Energie in kinetische Energie umgewandelt. Am Punkt $A$ ist die potentielle Energie gleich Null und die kinetische Energie nimmt ihren maximalen Wert an.

Die kinetische Energie ist also abhängig von der Geschwindigkeit $v$. Wir setzen nun die Bewegungsgleichung zur Bestimmung der Geschwindigkeit ein $v = v(t)$:

$E_{kin} = \frac{1}{2} m \cdot A^2 \cdot (\sqrt{\frac{k}{m}})^2 \cdot \cos^2(\sqrt{\frac{k}{m}} \cdot t)$

Wurzel fällt aufgrund des Quadrates weg:

$E_{kin} = \frac{1}{2} m \cdot A^2 \cdot \frac{k}{m} \cdot \cos^2(\sqrt{\frac{k}{m}} \cdot t)$

Kürzen von $m$:

Aufgrund seiner Trägheit bewegt sich das Federpendel über die Ruhelage $A$ hinaus zur Position $C$:

Energie beim Federpendel

In der obigen Grafik ist ein Federpendel zu sehen, welches um die Ruhelage $A$ schwingt. Zur besseren Übersicht ist die Bewegung nebeneinander eingezeichnet. Tatsächlich schwingt das Pendel natürlich von oben nach unten und verbleibt auf einer Wirkungslinie.

Wird die Reibung vernachlässigt, so erreicht er den selben Abstand von der Ruhelage wie bei der Auslenkung im Punkt $B$. Hier gilt auch wieder, dass die potentielle Energie gleich der Spannarbeit ist und im Punkt $C$ am höchsten ist. Die Punkte $B$ und $C$ stellen Umkehrpunkte dar, bei denen die kinetische Energie gleich Null ist, weil die Geschwindigkeit in diesen Punkten gleich Null ist. Bewegt sich das Pendel wieder in Richtung de Ruhelage wird die potentielle Energie in kinetische Energie umgewandelt, welche dann im Punkt $A$ am Größten ist. Im Punkt $A$ verschwindet hingegen die gesamte potentielle Energie.

Gesamtenergie

Es gilt, dass die Gesamtenergie die Summer der potentiellen und kinetischen Energie darstellt:

$E_{ges} = E_{pot} + E_{kin} $

$E_{ges} =  \frac{1}{2} k \cdot A^2 \cdot \sin^2(\sqrt{\frac{k}{m}} \cdot t) + \frac{1}{2} k \cdot A^2 \cdot \cos^2(\sqrt{\frac{k}{m}} \cdot t)$

Wir klammern zunächst aus:

$E_{ges} =  \frac{1}{2} k \cdot A^2 \cdot [\sin^2(\sqrt{\frac{k}{m}} \cdot t) + \cos^2(\sqrt{\frac{k}{m}} \cdot t)]$

Danach wenden wir die Trigonometrie an:

$\sin^2 (x) + cos^2(x) = 1$

Ist die Federkonstante $k$ nicht gegeben, sonder die Eigenfrequenz $\omega$ und die Masse $m$ so gilt:

$\omega^2 = \frac{k}{m}$

Auflösen nach $k$ und einsetzen: